C(n)基数（一） (15-3)

因此，如果κ是可测的，那么对于每个n，总是可以找到一个初等嵌入j : V → M，M传递，其中j（κ）∈C（n）。

因此，我们展示了以下内容。

命题1.1每个可测基数都是C（n）-可测的，对于所有n。

在强基数的情况下也会出现类似的情况。

假设基数κ是c（n）-强的，如果对于每个λ》κ，κ是λ-c（n）-强的，也就是说，存在一个初等嵌入j : V → M，m传递，具有临界点κ，并且使得j（κ）》λ，Vλ ⊆ M，j（κ）∈c（n）。

等效地（参见【5】，26.7），κ是λ-c（n）-强的当且仅当存在一个（κ，β）-扩张子e，对于某些β》| vλ|，其中Vλ ⊆ ME和λ《je（κ）∈c（n）。

现在假设j : V → M证明了κ的λ-强性，其中j（κ）在C（n）中不是必要的。

设E是从j得到的（κ，j（κ））-扩张子，设jE : V → ME是相应的λ-强嵌入（见【5]).那么在ME中，E◪:= jE（E）是一个（jE（κ），jE（j（κ）））-扩张子，它产生一个具有临界点jE（κ）的初等嵌入jE◪:ME→ME◪。

还是在我，让你成为由jE♀导出的jE（κ）上的标准jE（κ）-完全超滤子，即，u = { x⊆je（κ）:je（κ）∈je♀（x）}设jU : ME → M是对应的初等嵌入。

那么可以迭代jU α次，对于一些大于2je（κ）的α∈C（n），使得如果jα : ME → Mα是所得的初等嵌入，那么jα（jE（κ））=α。

设k:= jα♀jE，则k : V → Mα是具有临界点κ且k（κ）∈C（n）的λ-强初等嵌入。我们由此证明了以下几点。

命题1.2对于所有n，每个λ-强基数都是λ-C（n）-强基数。

因此，对于每个n，每个强基数都是C（n）-强基数。

因此，对于可测或强基数κ，对于相应的初等嵌入j V M，j（κ）属于C（n）的要求不会产生更强的大基数概念。

但是，正如我们接下来将看到的那样，在超强嵌入的情况下，情况完全改变了，也就是说，当j使得Vj（κ）M时。

在接下来的部分中，我们将在通常的大型基数层次结构的各个级别上分析C（n）-基数的概念，从超强基数开始，直到秩到秩的嵌入。

在几乎所有的情况下，我们将证明相应的C（n）-基数形成一个更细的层次。

C（n ）-基数的概念将被证明在超紧基数和vopenka原理（VP）之间的区域特别有用。

在那里，我们将在C（n）可扩基数的存在性、VP的限制形式和结构类的自然反射原理之间建立新的等价关系。

C（n）-基数等级的一些重要区域尚未被探索，例如C（n）-Woodin基数；

一些需要进一步研究，例如C（n）-超紧基数；

还有许多悬而未决的问题，例如，C（n）-超紧基数是否形成一个层次，或者C（n）-超紧基数和C（n）-可扩基数之间的确切关系。

这方面的进一步工作已经在进行中。

让我们指出，本文所考虑的所有C（n）基数（上一节中的基数除外）的存在性的一致性是由一个E0基数（即一个基数κ）的存在性的一致性得出的，对于这个基数存在一个非平凡的初等嵌入j Vδ Vδ，some δ，其中κCr I t（j）。

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