C(n)基数（一） (15-2)

由此可见，C(1)是п1可定义的，对于α ∈ C(1)当且仅当α是不可数基数且

∀m(m zfc∫∧α∈m→m | = vα= hα的传递模型)。

(这里ZFC表示ZFC的一个足够大的有限片段。)

重点是，如果α ∈ C(1)和M是包含α的ZFC∫的传递模型，那么如果在M中我们可以找到一些传递的x ∈ Vα \ Hα，我们将有|x | ≥ α。

但这与V中x的基数小于α的事实相矛盾，因为Vα = Hα。

更一般地，由于σn个句子的真值谓词|=n(对于n ≥ 1)是σn可定义的(参见[5]，0.2节)，并且由于关系x = Vy是п1，对于n ≥ 1，类C(n)是пn可定义的:

α ∈ C(n)当且仅当α∈c(n1)∧∀ϕ(x)∈σn∀a∈vα(| = n ϕ(a)→vα| = ϕ(a)).

让我们注意，对于n ^ 1，C(n)不可能是σn可定义的。

否则，如果α是C(n)中最小的序数，那么句子“C(n)中有一些序数”将是σn，因此它在Vα中成立，产生C(n)中小于α的序数，这是不可能的。

类C(n)，n ^ 1形成了可定义的序数的俱乐部真类的基础，在这个意义上，每σn序数的俱乐部真类包含C(n)。

假设有一个σn可定义的俱乐部真序数类，一些n-1。

如果α C(n)，那么对于每一个β＜α，句子∃γ(β＜γ ∧ γ ∈ C)

是参数β中的σn，在V中为真，因此在Vα中也为真。

这表明在α以下是无界的。

因此，既然是封闭的，α。

通过类似的论证，可以证明σn（即σn可由参数定义）的序数的每个俱乐部真类C都包含所有αC（n），这些αC（n）大于C的任何给定σn定义中包含的参数的秩。

最后注意，由于C（n）中的最小序数不属于C（n+1），C（n+1）C（n），所有n。

当使用非平凡的基本嵌入j V M时，M是平移的，人们希望对临界点κ的图像j（κ）的走向有一些控制。

一个特别有趣的情况是当人们希望Vj（κ）反映V的某些特定性质时，或者更一般地说，当人们希望j（κ）属于一个特定的可定义的俱乐部真序数类时。

现在，由于C（n），n ω构成了这类的基础，问题可以重新表述如下:

对于给定的n ω，什么时候可以有j（κ）C（n）？

这提示了以下定义。

假设基数κ是C（n）可测的，如果有一个初等嵌入j : V → M，某个传递类M，临界点Cr I t（j）=κ并且j（κ）∈C（n）。

观察到ifj:V→M =∞Ult（V，U），M传递，是超幂元素-从κ上的非主κ-完全超滤子获得的嵌入，然后2κ《j（κ）《（2κ）+（参见【5]).

因此，由于Vj（κ）1v暗示j（κ）是一个（强极限）基数，j不能证明κ的C（1）可测性。尽管如此，通过使用迭代超幂（参见【4】，19.15）中，对于每个基数α》2κ，α次迭代超幂嵌入jα:V→mα=∞Ult（V，Uα），其中Uα是U的α次迭代，具有临界点κ，jα（κ）=α。

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