C(n)基数（一） (15-11)

п对于更高复杂度的类，我们将证明下一个类似的结果，为此我们将需要C（n）可扩展的基数。

定理4.11对于每一个n ≥ 1，如果κ是C（n）–可扩基数，则每一个σn+2可定义的、参数在Hκ中的同类型τ e Hκ的结构类C在κ下反射。

因此V P（κ，σn+2）成立。

证明固定σn+2公式Exϕ(x，y，z），其中ϕ是пn+1，使得对于某些集合b e Vκ = Hκ，Exϕ(x，b，b）是一类相同类型的结构τ e Hκ。

固定B e C，设λe C（n+2）大于κ和B的秩。

因此，Vλ |= Exϕ(x，b，b）。

设j Vλ Vμ是具有临界点κ的初等嵌入，j（κ）》λ，j（κ）C（n）。

请注意，B和j T B B j（B）在Vμ中。

此外，由于j固定τ，因此j（B）是τ类型的结构，并且j T B是初等嵌入。

作为κ，λe C（n+2）（参见命题3.4），则得出vκ∫n+2vλ。

所以我们有vλ| =“6x e vκ6θeσn+2（vκ| =θ（x）↔|=n+2θ（x））”。

因此，根据基本原理，vμ| =“6x e VJ（κ）6θeσn+2（VJ（κ）| =θ（x）↔|=n+2θ（x））“，即Vj（κ）∫n+2vμ。

由于j（κ）e C（n），我们也有vλ∫n+1vj（κ），因此vλ∫n+1vμ。

它遵循Vμ |= Exϕ(x，b，b），因为Vλ |= Exϕ(x，b，b）。

因此，在Vμ中存在X e Vj（κ）使得X e C，即B，并且存在初等嵌入e:X→j（B），即j T B .

因此，根据j的初等性，在Vλ中同样成立，即存在X e Vκ使得X e C，并且存在初等嵌入e : X → B。

因为λe C（n+2），A e C，我们就完事了。

п下一个定理产生了定理的一个强逆定理4.11。

中使用的C（n）可扩性的概念1】具有以下明显更强的形式——让我们称之为C（n）+-可扩性:对于λe C（n），基数κ是λ-C（n）+-可扩的，如果它是λ-C（n）-可扩的，由一些j : Vλ → Vμ证明，除了满足j（κ）》λ和j（κ）C（n），也满足μC（n）。

κ是C（n）+可扩的，如果它是λ-C（n）+可扩的。

每个可扩展基数都是C（1）+-可扩展的（见命题的证明3.3).我们将在下面看到，第一个C（n）可扩基数是C（n）+可扩基数，对于所有n。

+定理4.12假设n ^ 1。

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