C(n)基数（一） (15-12)

如果V P（пn-1）成立，则存在一个C（n）+可扩基数。证明假设不存在C（n）+-可扩展基数。那么序数上的类函数F由下式给出:f（α）=大于α的最小λe C（n+1），使得α不是λ-C（n）+可扩的，对于所有序数α都是这样定义的。设C = {η》0:6α《ηF（α）《η}。所以C是一个闭无界的真类序数，并且包含在C（n+1）中，因为每个η e C都是集合的上确界{ f（α）:α《η}⊆c（n+1）。我们声称C是пn+1可定义的，没有参数。足以看出f是пn+1可定义的。我们有:λ= F（α）当且仅当λC（n+1）α＜λ6β》λ（βe C（n）→vβ| =（α不是λ-C（n）+可扩的）），并且vλ| = 6λ♀》α（λ♀e C（n+1）→（α是λ♀-C（n）+-可扩的）。关键是，对于任何α《λ◪，关系“α是λ◪-C（n）+-可扩的”是σn-1，因为它成立当且仅当EμE j（j:Vλ♀→Vμ是初等的）Cr I t（j）=αˇj（α）》λ♀j（α），μE C（n）。因此它在V中成立当且仅当它在Vλ中成立时，对于任何大于λ◪的λe C（n+1）。而且，如果它在Vβ中成立，其中βe C（n），那么它在V中成立。此外，由于λe C（n+1），对于每个λ♀《λ，我们有λe C（n+1）当且仅当Vλ| =λe C（n+1）。由于上述语句（1）-（4）的合取是пn+1，因此F以及C是пn+1可定义的。设ϕ是定义c的пn+1公式。对于每个序数α，设λα是C大于α的最小极限点。我们有x = λα当且仅当x是属于C的大于α的序数，并且使得（1）VX | = 6βeγ（γ》βϕ(γ）（2）VX | = 6β（β》α→eγ《β6η（γ《η《β→ϕ(η））），这表明函数α‘→λα是пn+1可定义的。现在考虑适当的C类结构Aα的形式（Vλα，e，α，λα，C ∩ α + 1），其中α e C。我们声称C是пn+1可定义的。我们有:X e C当且仅当X =（X0，X1，X2，X3，X4），其中 X2大学X3 = λX2X0 = VX3X1 =eT X0X4 = C ∩ X2 + 1我们已经看到（1）和（2）是пn+1可表示的。不难看出，（3）和（4）也是如此。至于（5），注意X4 C X2 1在V中成立当且仅当它在VX3中成立。所以（5）相当于vx3 | = 6x（x e x4↔ϕ(x ）ˇx e x2+1），可表示为пn+1。所以由V P（пn+1）存在α /= β和一个初等嵌入j : Aα → Aβ。由于j必须将α发送到β，因此j不是恒等式。所以j有临界点κ α。我们声称κ C .否则，γsup（Cκ）《κ。设δ是中最小的序数c大于γ，使得δ《λα。所以κ《δα。因为δ可由α中的γ定义，并且因为j（γ）γ，所以我们也必须有j（δ）δ。但是j T Vδ 2Vδ 2 Vδ 2是一个非平凡的初等嵌入，与Kunen定理相矛盾。因为λαe c（n+1），Vλ |= ϕ(κ).因此根据初等性，vλ| = ϕ( j（κ）。所以自从βλβe C（n+1），则j（κ）e C注意，由于λα e C，我们有κ《F（κ）《λα。因此，j T VF（κ）:VF（κ）→Vj（F（κ））是初等的，临界点为κ。并且由于j（κ）e C，F（κ）《j（κ）。此外，根据j的初等性，Vλβ满足j（F（κ））属于C（n+1），因此由于λβC（n+1）这在V中成立。这表明j T VF（κ）证明κ是F（κ）-C（n）+可扩的。但是根据F . п的定义这是不可能的最后一个定理的证明可以很容易地适用于证明参数化版本:如果V P（пn-1）成立，则存在一个适当的C（n）可扩基数类。固定一个序数ξ，以表明存在一个大于ξ的C（n）可扩基数，我们如上所述进行论证。为了保证κ》ξ，我们现在设be类的结构形式为（Vλα，e，α，λα，C ∩ α + 1，{γ }γ ≤ξ）其中α》ξ和α C .该类现在是пn-1可定义的，ξ是一个附加参数。如果ξ之上没有C（n）可扩基数，则是一个真类。如前所述，我们在中的两个不同结构之间有一个初等嵌入j，它必须是小于或等于ξ的序数上的恒等式，所以j有一个临界点κ，其中ξ《κ。一个矛盾如前所述。

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