数学联邦政治世界观
超小超大

Fubini定理 (2-1)

(X,Σ₁,μ₁),(Y,Σ₂,μ₂)是两个 σ 有限测度空间, X × Y,Σ₁ × Σ₂,μ₁ × μ₂) 为其乘积测度空间,因而也是 σ 有限的。对于乘积空间上的一个可测函数 f ,我们要问,对于固定的 x∈X , f(x,·) 作为 (Y,Σ₂,μ₂) 上的函数是否可测,如果可测,其积分 g(x)=∫ʏ f(x,·) dμ₂(y) 作为 x 的函数在 (Y,Σ₁,μ₁) 上是否可测,如果可测,是否有 ∫x gdμ₁(x)=∫x × ʏ fdμ₁ × μ₂?Fubini定理的核心就是要回答上述基本问题。

引理1. 若μ₁,μ₂ 有限,∀E ∈ Σ₁ × Σ₂,x ∈ X ,E(x,·)={y∈Y:(x,y)∈E}称为 E 在 x 处的截面集,则 ∀x ∈ X,E(x,·) ∈ Σ₂,l(x)=μ₂(E(x,·)) 为 Σ₁ 可测,且有 μ₁(l(x))=μ₁ × μ₂(E)

证明:若

E ∈ 𝓡 ={A₁ × A₂,A₁ ∈ Σ₁,A₂ ∈ Σ₂},显然成立。

𝓢 ={E:∀x,E(x,·) ∈ Σ₂,l(x) Σ₁,μ₁(E(x,·))=μ₁ × μ₂(E)}

,则不难知道 𝓢 为 λ 系,又 𝓡 ⊆ 𝓢,故 Σ₁ × Σ₂ ⊆ 𝓢 。◾

引理2. 若μ₁,μ₂ 为 σ 有限,∀E ∈ Σ₁ × Σ₂,x ∈ X ,E(x,·)={y∈Y:(x,y) ∈ E} 称为 E 在 x 处的截面集,则 ∀x ∈ X,E(x,·) ∈ Σ₂,l(x)=μ₂(E(x,·)) 为 Σ₁ 可测,且有 μ₁(l(x))=μ₁ × μ₂(E)

证明:取

Aₙ ↑ X,Bₙ ↑ Y,μ₁ (Aₙ)<∞,μ₂(Bₙ)<∞,由引理1,考虑 (X × Y,Σ₁ × Σ₂,μ₁ × μ₂) 在 Aₙ × B₂ 上的限制,可知 E∩(Aₙ × Bₙ) 满足条件,从而 ᴱ ⁼ ˡⁱⁿ E∩(Aₙ × Bₙ)满足条件。◾ ₙ

由引理2,进而若f 为简单可测函数,则有1) ∀x,f(x,·) Σ₂ 可测,2) lf(x):x → ∫ʏ f(x,·) dμ₂ 为 Σ₁ 可测,3) ∫x lf(x)dμ₁=∫x×ʏ fdμ₁ × μ₂ 。

进而若f 为非负可测函数,可写

i – 1

f=lim hₙ,hₙ=Σⁿ²ⁿᵢ₌₁ ── .

2ⁿ

1{f∈[(i – 1)/2ⁿ,i/2ⁿ)}+n · 1{f≥n}

,从而也满足1),2),3),从而得到定理1:

定理1. 对于任何非负可测函数f , ∀x ∈ X,f(x,·) 为 Σ₂ 可测, lf(x):x → ∫ʏ f(x,·)dμ₂ 为 Σ₁ 可测,且有 ∫x ∫ʏ f(x,y)μ₂(dx)μ₁(dy)=∫x×ʏ fdμ₁ × μ₂ 。

数学联邦政治世界观提示您:看后求收藏(同人小说网http://tongren.me),接着再看更方便。

相关小说

5个常 连载中
5个常
ch.夏婉
0.1万字9个月前
我们与她之间 连载中
我们与她之间
仄起平收owo
“阿帆阿帆,我跟你说,那个王天娥又开始了!”“……唉,放过我吧。”生活不易,阿帆叹气。本文纯属原创虚构,如有雷同,纯属巧合。写文图一乐,拒绝......
15.3万字9个月前
每天都是上上签 连载中
每天都是上上签
Lily酱
热情优美的文案小馆疗效:专治各种不开心,颓废。使用方法:打开目录,闭上双眼,深呼吸、抽签哦!愿美好与阳光陪伴你的每一天。观迎各位小主入馆参观......
0.3万字9个月前
门笛的妹妹 连载中
门笛的妹妹
沈流漓
梦幻天堂的前一天,门笛的妹妹回来了。
0.3万字9个月前
仙尊,你徒弟入魔了 连载中
仙尊,你徒弟入魔了
飞来横财
“仙尊,你徒儿把旌畴山夷为了平地—”“魔徒巢穴,早该铲平!”声音淡淡,不以为意。“师尊,小师妹把西照阁太阳射下来了—”“不仅如此,她还破了您......
40.0万字9个月前
清清晚风吟 连载中
清清晚风吟
桃绘姬奈子
最初的宇宙是一片虚无的宇宙中蕴藏着各种能量,创世之力、毁灭之力、秩序之力远古神明便是在这些能量中孕育而出诞生于创世之力的创世之神,是宇宙明的......
10.7万字9个月前