数学联邦政治世界观
超小超大

Fubini定理 (2-1)

(X,Σ₁,μ₁),(Y,Σ₂,μ₂)是两个 σ 有限测度空间, X × Y,Σ₁ × Σ₂,μ₁ × μ₂) 为其乘积测度空间,因而也是 σ 有限的。对于乘积空间上的一个可测函数 f ,我们要问,对于固定的 x∈X , f(x,·) 作为 (Y,Σ₂,μ₂) 上的函数是否可测,如果可测,其积分 g(x)=∫ʏ f(x,·) dμ₂(y) 作为 x 的函数在 (Y,Σ₁,μ₁) 上是否可测,如果可测,是否有 ∫x gdμ₁(x)=∫x × ʏ fdμ₁ × μ₂?Fubini定理的核心就是要回答上述基本问题。

引理1. 若μ₁,μ₂ 有限,∀E ∈ Σ₁ × Σ₂,x ∈ X ,E(x,·)={y∈Y:(x,y)∈E}称为 E 在 x 处的截面集,则 ∀x ∈ X,E(x,·) ∈ Σ₂,l(x)=μ₂(E(x,·)) 为 Σ₁ 可测,且有 μ₁(l(x))=μ₁ × μ₂(E)

证明:若

E ∈ 𝓡 ={A₁ × A₂,A₁ ∈ Σ₁,A₂ ∈ Σ₂},显然成立。

𝓢 ={E:∀x,E(x,·) ∈ Σ₂,l(x) Σ₁,μ₁(E(x,·))=μ₁ × μ₂(E)}

,则不难知道 𝓢 为 λ 系,又 𝓡 ⊆ 𝓢,故 Σ₁ × Σ₂ ⊆ 𝓢 。◾

引理2. 若μ₁,μ₂ 为 σ 有限,∀E ∈ Σ₁ × Σ₂,x ∈ X ,E(x,·)={y∈Y:(x,y) ∈ E} 称为 E 在 x 处的截面集,则 ∀x ∈ X,E(x,·) ∈ Σ₂,l(x)=μ₂(E(x,·)) 为 Σ₁ 可测,且有 μ₁(l(x))=μ₁ × μ₂(E)

证明:取

Aₙ ↑ X,Bₙ ↑ Y,μ₁ (Aₙ)<∞,μ₂(Bₙ)<∞,由引理1,考虑 (X × Y,Σ₁ × Σ₂,μ₁ × μ₂) 在 Aₙ × B₂ 上的限制,可知 E∩(Aₙ × Bₙ) 满足条件,从而 ᴱ ⁼ ˡⁱⁿ E∩(Aₙ × Bₙ)满足条件。◾ ₙ

由引理2,进而若f 为简单可测函数,则有1) ∀x,f(x,·) Σ₂ 可测,2) lf(x):x → ∫ʏ f(x,·) dμ₂ 为 Σ₁ 可测,3) ∫x lf(x)dμ₁=∫x×ʏ fdμ₁ × μ₂ 。

进而若f 为非负可测函数,可写

i – 1

f=lim hₙ,hₙ=Σⁿ²ⁿᵢ₌₁ ── .

2ⁿ

1{f∈[(i – 1)/2ⁿ,i/2ⁿ)}+n · 1{f≥n}

,从而也满足1),2),3),从而得到定理1:

定理1. 对于任何非负可测函数f , ∀x ∈ X,f(x,·) 为 Σ₂ 可测, lf(x):x → ∫ʏ f(x,·)dμ₂ 为 Σ₁ 可测,且有 ∫x ∫ʏ f(x,y)μ₂(dx)μ₁(dy)=∫x×ʏ fdμ₁ × μ₂ 。

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