数学联邦政治世界观
超小超大

CAT空间 (2-1)

给定,以 κ ∈ ℝ,以 Mⁿκ 表示如下度量空间:(1)若κ=0,则 Mⁿ₀ 是欧氏空间 𝔼ⁿ;

(2)若κ>0,则 Mⁿκ 是由球面 𝕊ⁿ 上以度量

1

乘常数 ── 所得;

√κ

(3)若κ<0,则 Mⁿκ 是由双曲空间 ℍⁿ 上以

1

度量乘常数 ── 所得.

√–κ

度量空间X 中的测地三角形 Δ 由三个顶点 p,q,r∈X 和三条连接它们的测地线即边 [p,q],[q,r],[r,p] 构成,记作 Δ(p,q,r). 在 M²κ 中,如果

d(ˉp,ˉq)=d(p,q) d(ˉq,ˉr)=d(q,r) d(ˉr,ˉp)=d(r,p),

则称ˉΔ=Δ(ˉp,ˉq,ˉr) 为 Δ=Δ(p,q,r) 的相较三角形 (comparison triangle). 当 Δ 的周长 d(p,q)+d(q,r)+d(r,p) 小于 2 倍 M²κ 的直径 Dκ,则上述三角形 ˉΔ ⊂ M²κ 一定存在,且在等距同构意义下惟一[1]. 对于 x ∈ [p, r],若 d(q,x)=d(ˉq,ˉx) 则称点 ˉx ∈ [ˉq,ˉr] 为 x 的相较点 (comparison point). 若 p ≠ q 且 p ≠ r,则 Δ 在点 p 的角是测地线 [p,q] 和 [p,r] 之间在点 p 的 Alexandrov 角.

定义 1. 令 X 为度量空间,给定 κ ∈ ℝ. 令 Δ 为 X 上周长小于 2Dκ 的测地三角形,ˉΔ ∈ M²κ 为其相较三角形. 若对任意 x,y ∈ Δ 和任意相较点 ˉx,ˉy ∈ ˉΔ 有 d(x,y) ≤ d(ˉx,ˉy),则称 Δ 满足 CAT(κ) 不等式. 以下两种情况称 X 是 CAT(κ) 空间,或简称 X 是 CAT(κ).

(1)当 κ ≤ 0 时,测地空间 X 中所有测地三角形满足 CTA(κ) 不等式;

(2)当κ>0 时,X 是 Dκ-测地空间[2],且其中周长小于 2Dκ 的测地三角形满足 CAT(κ) 不等式.

q ˉq

↙ ↘ ↙ ↘

x ↙ r ˉx ˉr

↙ ↖ ↙ ↖ ↙

p ←y ˉp ← ˉy

定义 2. 对于一个度量空间 X,若它为局部 CAT(κ) 空间,即对于任意 x ∈ X,存在 rₓ>0 使得球 B(x,rₓ) 及其所诱导的度量是 CAT(κ) 空间,则称 X 的曲率 ≤ κ. 当 X 的曲率 ≤ 0 时,则称其为非正弯曲的 (non-positively curved).

命题 3. 令 X 为 CTA(κ) 空间.

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