Fubini定理 (2-2)

定理2（Fubini定理）. 对于任意f ∈ L¹ (X × Y) ，则1） ∀x ∈ X，f(x，·) 是 Σ₂ 可测的，2）对于 α，e. x， f(x，·) ∈ L¹(Y，σ₂，μ₂) ， 可积时，令 lf(x)＝∫ʏ f(x，·)dμ₂ ，不可积时，令 lf(x)＝0，则 lf(x) Σ₁ 可测 ，3） lf(x) ∈ L¹(X，Σ₁，μ₁)，∫x lf(x)dμ₁＝∫x×ʏ fdμ₁ × μ₂ 。若先对 X 再对 Y 积分，类似的结论成立。

证明：f＝f⁺ – f⁻ ，由定理1，可知 lf⁺(x)，lf⁻(x) ∈ L¹，从而a.e. 有限，在a.e.意义下有lf(x)＝lf⁺(x) – lf⁻ (x)，进而可得定理2。◾

推论1. 取X＝Y＝{1，2，· · ·}，μ₁({i})＝μ₂({i})＝1，令 αₘ，ₙ＝f(m，n)，由Fubini定理可得 Σₘ，ₙ |αₘ，ₙ|＝ΣₙΣₘ |αₘ，ₙ|＝ΣₘΣₙ |αₘ，ₙ|，若前一式＜ ∞，则有 Σₘ，ₙαₘ，ₙ＝ΣₙΣₘαₘ，ₙ＝ΣₘΣₙαₙ，ₘ

推论2（一般可积函数的分部积分公式）.f，g ∈ L¹([α，b]) ，令 F(t)＝∫ᵗα fdm＋F(α)，G(t)＝∫ᵗα ghm＋G(α)，则有 ∫ᵇα F · gdm＝F · G|ᵇα – ∫ᵇα f · Gdm

证明：

∫ᵇα F(t)g(t)dt＝∫ᵇα (∫ᵗα f(x)dx＋F(α)) · g(t)dt

＝∫ᵇα ∫ᵇα f(x)l{x≤t}g(t)＋F(α)g(t)dxdt＝∫ᵇα ∫ᵇα f(x)1{x≤t}g(t)dxdt＋F(α)G|ᵇα

＝∫ᵇα f(x)(∫ᵇα 1{x≤t}g(t)dt)dx＋F(α)G|ᵇα＝∫ᵇα f(x)(G(b) – G(x))dx＋F(α)G|ᵇα

＝ – ∫ᵇα f(x)G(x)dx＋G(b)F|ᵇα＋F(α)G|ᵇα＝FG |ᵇα – ∫ᵇα fGdm

即得一般可积函数的分部积分公式。◾

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