Fubini定理 (2-1)

(X，Σ₁，μ₁)，(Y，Σ₂，μ₂)是两个 σ 有限测度空间， X × Y，Σ₁ × Σ₂，μ₁ × μ₂) 为其乘积测度空间，因而也是 σ 有限的。对于乘积空间上的一个可测函数 f ，我们要问，对于固定的 x∈X ， f(x，·) 作为 (Y，Σ₂，μ₂) 上的函数是否可测，如果可测，其积分 g(x)＝∫ʏ f(x，·) dμ₂(y) 作为 x 的函数在 (Y，Σ₁，μ₁) 上是否可测，如果可测，是否有 ∫x gdμ₁(x)＝∫x × ʏ fdμ₁ × μ₂？Fubini定理的核心就是要回答上述基本问题。

引理1. 若μ₁，μ₂ 有限，∀E ∈ Σ₁ × Σ₂，x ∈ X ，E(x，·)＝{y∈Y：(x，y)∈E}称为 E 在 x 处的截面集，则 ∀x ∈ X，E(x，·) ∈ Σ₂，l(x)＝μ₂(E(x，·)) 为 Σ₁ 可测，且有 μ₁(l(x))＝μ₁ × μ₂(E)

证明：若

E ∈ 𝓡 ＝{A₁ × A₂，A₁ ∈ Σ₁，A₂ ∈ Σ₂}，显然成立。

记

𝓢 ＝{E：∀x，E(x，·) ∈ Σ₂，l(x) Σ₁，μ₁(E(x，·))＝μ₁ × μ₂(E)}

，则不难知道 𝓢 为 λ 系，又 𝓡 ⊆ 𝓢，故 Σ₁ × Σ₂ ⊆ 𝓢 。◾

引理2. 若μ₁，μ₂ 为 σ 有限，∀E ∈ Σ₁ × Σ₂，x ∈ X ，E(x，·)＝{y∈Y：(x，y) ∈ E} 称为 E 在 x 处的截面集，则 ∀x ∈ X，E(x，·) ∈ Σ₂，l(x)＝μ₂(E(x，·)) 为 Σ₁ 可测，且有 μ₁(l(x))＝μ₁ × μ₂(E)

证明：取

Aₙ ↑ X，Bₙ ↑ Y，μ₁ (Aₙ)＜∞，μ₂(Bₙ)＜∞，由引理1，考虑 (X × Y，Σ₁ × Σ₂，μ₁ × μ₂) 在 Aₙ × B₂ 上的限制，可知 E∩(Aₙ × Bₙ) 满足条件，从而 ᴱ ⁼ ˡⁱⁿ E∩(Aₙ × Bₙ)满足条件。◾ ₙ

由引理2，进而若f 为简单可测函数，则有1） ∀x，f(x，·) Σ₂ 可测，2） lf(x)：x → ∫ʏ f(x，·) dμ₂ 为 Σ₁ 可测，3） ∫x lf(x)dμ₁＝∫x×ʏ fdμ₁ × μ₂ 。

进而若f 为非负可测函数，可写

i – 1

f＝lim hₙ，hₙ＝Σⁿ²ⁿᵢ₌₁ ── .

2ⁿ

1{f∈[(i – 1)/2ⁿ，i/2ⁿ)}＋n · 1{f≥n}

，从而也满足1），2），3），从而得到定理1：

定理1. 对于任何非负可测函数f ， ∀x ∈ X，f(x，·) 为 Σ₂ 可测， lf(x)：x → ∫ʏ f(x，·)dμ₂ 为 Σ₁ 可测，且有 ∫x ∫ʏ f(x，y)μ₂(dx)μ₁(dy)＝∫x×ʏ fdμ₁ × μ₂ 。

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。