Stewart Shapiro SEP原文（二） (10-4)

与集合论相比，范畴理论的第二个优势，在Awodey(1996)中也提到了，那就是范畴结构概念是"语构不变"的。也就是说，与标准模型论不同的是，范畴论中在映射性质的意义下指明对象是独立于对其描述所用的特定术语的选择(基本关系、函数和特别元素的选择)。第三，也是最重要的，范畴论的特色便是，其注重数学对象之间保持了它们的(部分)内部结构的态射和变换。在指明对象中强调结构保持的映射，常常被看作是现代数学中结构主义转向的核心特征。因此，它在十九世纪和二十世纪初数学的各个部分都有所表现，包括伽罗瓦理论、克莱因的埃朗根计划、戴德金的基础性著作，以及Noether学派关于抽象代数的工作中(再次参见Reck & Schiemer即将出版的书)。

在这样发展的背景下，范畴论首先被发展为研究不同数学结构之间关系的统一框架(参见Landry & Marquis 2005, Marquis 2009)。为了完成这一任务，我们引入了不同类型的映射。一种类型涉及到同一范畴的对象之间的态射，例如，群范畴中的群同态，或向量空间范畴中的线性映射。另一种重要的映射类型是不同范畴之间的 "函子"。(粗略地讲，两个范畴之间的函子是对象到对象和箭头到箭头的映射，并且保持相关的范畴性质)。这样的函子正是范畴论中比较不同数学范畴对象的核心工具，从而 "将不同种类的结构联系起来"(Awodey 1996)。因此，它们是范畴结构主义的核心。

3.2 范畴论基础以及关于其的辩论

正如刚才总结的文献中反复论证的那样，范畴论为数学中的数学结构主义或方法论结构主义提供了一个比传统的集合论更自然的框架。但是作为哲学结构主义的一种形式，即作为 Resnik, Shapiro, Hellman 等人的理论的替代，它的前景又如何呢？我们已经提到，Awodey(1996)中是以此角度提出的；但这导致了持续的争议。Hellman(2003)包含了对 Awodey 等哲学主张的第一次批判性讨论。也就是说，Hellman 的文章针对范畴论为哲学意义上的数学结构主义描述提供了一个充分的框架这一观点提出了若干反对意见。正如我们将看到的，这些反对意见与范畴论作为一门基础学科的地位密切相关。

近来，关于一个理论必须满足哪些标准才能作为数学的适当"基础"的争论有很多。根据 Tsementzis(2017)的一个有帮助性的提议，一个基础系统必须包括三项内容，即：

1. 一种形式语言；

2. 一个用该语言表达的公理理论；

3. 理论所描述的丰富的对象宇宙，在这个宇宙中，所有的数学结构都可以被定位、表示或编码。

Zermelo-Fraenkel 集合论显然这个意义上的基础系统的一个例子。ZFC 的公理通常是用形式化的一阶语言来表述的；而且它们描述了一个全面的宇宙，即集合的嵌套累积层次，在这个宇宙中，数系、群、环、拓扑空间等数学对象都可以被表示出来。

在20世纪60年代以后的范畴理论研究中，人们提出了几种特定范畴的公理化，作为数学的替代基础。这其中一方面包括描述集合和函数范畴的公理化系统，另一方面也包括 Lawvere(1964，1966) 首次提出的范畴的范畴。两者都是作为基础系统明确提出来的，因此是被视为 Zermelo-Fraenkel 集合理论的替代物。最近，基本拓扑斯理论被发展为范畴化集合论的一种形式，可以作为上述意义上的基础系统(参见Landry & Marquis 2005，Marquis 2013)。

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