Stewart Shapiro SEP原文（二） (10-3)

在过去的20年里，人们提出了不同的提案，希望在范畴理论的基础上形成一种数学结构主义理论，从而形成一种或几种 "范畴结构主义"的理论。我们现在可以在一个更好的位置来考虑这些提案，不过我们还是间接地从更多的背景开始进行讨论。范畴论作为抽象代数的一个分支，最早是在Eilenberg & Mac Lane的著名文章《自然等价的一般理论》(1945年)中提出的。随后，在Mac Lane、Grothendieck、Kan、Lawvere等人的工作中，它发展成为一门独立的数学学科，在代数拓扑和同构代数中，以及最近在计算机科学和逻辑学中，都有重要的、广泛的应用(参见Landry & Marquis 2005，也是本百科全书中关于范畴论的条目)。

在这些发展的基础上，Awodey、 Landry、 Marquis 还有 McLarty在20世纪90年代发起了分类结构主义的哲学讨论。为了更好地理解他们的贡献，回到我们对 "形而上学 "和 "方法论结构主义 "的区分是有帮助的，这在Awodey(1996)中得到了明确的划分。或者说，Awodey 将范畴理论作为 "数学"和"哲学结构主义"的框架做了区分。他把数学结构主义描述为一种 "追求学科结构方法"的一般方式，即运用结构性概念和方法来实践数学的一种特殊风格。他认为范畴理论提供了在这个意义上把握结构数学的最佳方式。然而，他也把它作为哲学结构主义的框架，即 "数学本体论和认识论的方法"。让我们首先考虑前者的论点。(我们将在第3.3节中再谈后者)。

作为纯数学的一个分支的范畴论，经常被描述为 "数学结构的一般理论"，例如Mac Lane(1986，1996)。但这里的"结构"究竟指的是什么？文献中至少提到了两个相关概念。首先，结构可以理解为集合和模型理论意义上的结构，即由一个定义域和一个由关系、函数和用于解释形式语言的特别元素形成的有序列组成的元组。(这就是我们在上面比较非正式地称为的"关系系统"的概念)。在这种情况下，这种结构通常被称为"布尔巴基结构"。它们的性质通常是由公理定义的，例如，由群公理或算术的Dedekind-Peano公理定义的。

其次，还有一种基于数学对象之间态射的基本观念的范畴结构概念。通常情况下，一个范畴由两类实体组成，即对象和它们之间的态射，即用箭头表示的映射，并且映射保持对象的一些内部组成结构。沿着这样的思路，Eilenberg和Mac Lane(1945)首先提出了一个定义范畴一般概念的公理系统。它定义了一个适当的对箭头的复合操作，复合的结合性，以及每个对象存在相应的恒等态射(参见Awodey 2010，关于范畴论的教科书里的介绍)。

为什么范畴论比其他学科，特别是传统的(Cantorian, Zermelo-Fraenkel)集合论被认为是一个更合适的数学结构主义框架？在这个问题上，参考Awodey(1996)的观点是有帮助的。根据他的说法，布尔巴基结构概念是Dedekind、Hilbert和布尔巴基小组的现代公理传统的直接结果。这一传统最终引向了数学的结构主义观点。然而集合论并不是一个理想的框架，它无法抓住结构主义对数学对象的理解。首先，集合论与数学理论的模型论观念紧密相连，包括认为这样的理论只在"精确到同构"的意义下研究它们的模型的观点。但结构主义观点的核心是"将同构对象视为同一"的原则(下文将详述)；这个原则可以很好地从范畴论的观点中被启发，但如果用集合论来表示数学对象，这个原则更少地体现出来。

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