Stewart Shapiro SEP原文（一） (10-8)

正如Benacerraf所论证的那样，将“自然数”等同于一个特定的集合论体系是有问题的；或者至少，在任何绝对的意义上这样做似乎都是错误的。Benacerraf的结论是，数字不是集合，也不是任何种类的对象，而是结构中的位置。现在，人们几乎可以同意Benacerraf所说的一切，但仍想在不太绝对的意义上把“自然数”等同于某种集合论体系。在这样做的时候，人们可以承认，Dedekind-Peano公理的任何其他模型“也会做得很好”，也就是说，可以选择它来代替（也许出于实用主义的原因要排除在外，例如，能够概括到超限）。这意味着，我们所认定为同一于（identify）自然数的东西是取决于一个初始的、临时的、有点武断的选择。对于大多数数学目的来说，这样的实用性的同一化就足够了；事实上，这正是人们在标准公理集合论中所做的事情。由此产生的立场又值得算作结构主义的一种形式，正如它的辩护者所坚持的那样。使它成为结构主义的原因是，在任何更绝对意义上的对自然数的“同一性认定漠不关心（indifference to identify）”（参见Burgess 2015）。

集合论结构主义的核心，正如刚才所描述的那样，是在几个同构系统中选择一个作为“自然数”的实用性的指称对象（实数等也是类似）。在某种意义上，我们谈论“自然数”，那么也谈论 “数字0”、“数字1”等等，都是相对于这个初始选择而言的。这被看作是没有问题的，因为无论我们如何选择，我们都会得到同样的算术定理（因为公理系统的范畴性，这意味着它的语义完备性）。作为背景，我们可以再次采用Zermelo-Fraenkel集合论。但是，我们也可以通过允许“原子”或“urelements”，即不是集合的对象，来稍微扩大这个方法。因此，我们可以在我们的论域中包括凯撒大帝或某个啤酒杯，结果是它们中的任何一个都可以“是（be）”数字2，比如说，在我们选择的算术模型中占据“2-位置”。由于这个特点，我们将使用“相对主义结构主义”来称呼这个方法（参见Reck & Price 2000）。似乎也可以说，这种立场，特别是在其集合论版本中，被许多数学家明确地或隐含地接受。事实上，它可能是结构主义中最广受青睐的形式。

在集合论结构主义中，以及在更广泛的相对主义结构主义中，唯一起作用的数学对象是那些公理集合论（可能带有urelements）允许我们引入的对象。我们不需要另外假设抽象的结构。由于这个原因，这个立场是另一种形式的取消式结构主义（虽然它并不是完全取消式的，因为它接受了集合）。事实上，集合论关系系统（理论的集合论模型）本身在这里被认为是相关的结构。（在许多数学教科书中，正是这样的关系系统被称为“结构”）。然而，与后者有关的还存在另一种选择。即，比如说，我们也可以将自然数的结构等同于Dedekind-Peano公理所定义的（高阶）概念；对于其他（范畴）公理系统也同样如此。这就导致了结构主义的另一种取消式形式：“概念结构主义”（参见Isaacson 2010，Feferman 2014，也参见Ketland 2015，和其他网络资源）。

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