Stewart Shapiro SEP原文（一） (10-9)

根据概念结构主义，在现代公理数学中，重要的并不是真正的对象，尤其不是有问题的抽象对象。相反，关键的是数学概念，例如，“自然数系统”（或“Dedekind-Peano公理的模型”、“数列（progression）”）概念；“完整有序场”概念等也与之类似（在Ketland 2015年，和其他网络资源中，这类概念被进一步用内涵型命题函数来阐释，而Isaacson and Feferman则更认为它们的本质是悬而未决的）。更确切地说，最终重要的是从这些概念所导出的内容，即从相应的公理中可以推导出什么这一意义上。诚然，正如概念结构主义者可能承认的那样，我们在数学中进行推理的方式常常涉及谈论属于相关概念下的对象。但正如他们会补充的那样，这种谈论最终可以被解释掉（例如，通过采取形式主义立场）。在这种或类似的形式下，概念结构主义似乎又是数学家和逻辑学家中相当普遍的观点，尽管它在结构主义的辩论中直到最近才非常突出。

为了进行更全面的调查，我们想走得更远。作为下一步，我们将介绍两种结构主义的形式，它们与相对主义结构主义和概念结构主义密切相关，但与其中任何一种都不相同。（我们将会看到，这两种形式都是“抽象主义结构主义”的形式。）让我们再从一个由公理系统定义的高阶概念，例如“自然数系统”，还有属于（falling under）它的集合论系统开始谈起。然而，我们并不将相应的结构要么等同于该概念，要么等同于属于该概念下的某个实用性选择的系统，而是将注意力集中在由该概念决定的整个等价类上。

此时，我们可以走两条“抽象主义”的道路之一。首先，我们可以简单地将相关的结构等同于该等价类（如有时所说的那样，等同于“外延中的概念”）。因此，对应于“自然数系统”这个概念和属于它之下的集合论系统，比如有穷von Neumann序数，就有相应模型的整个等价类作为第三实体。（我们的首要关注点还是在范畴公理系统上，但这种方法是可以推广的。）正是这个类如今被称为“自然数结构”。可以肯定的是，它不是一个集合，而是一个真类（proper class）；但它仍然可以用逻辑数学的方法来研究。从“相对主义”的角度看，这一新方法也可以这样描述：它的核心是（go）从一个特定的、任意选择的、属于高阶概念的系统，到相关的等价类，即（在范畴公理系统的情况下）所有与它同构的系统的类。而我们可以认为这一移动（move）涉及到一种“抽象”，特别是在Russell（1903；也被Rudolf Carnap等人所接受）的“抽象原则”的意义上。其结果是第一种形式的“抽象主义结构主义”。

我们可以走第二条道路，其结果是第二种形式的抽象主义结构主义。它也在最近的结构主义辩论中起了作用；但是，和第一种形式一样，它也可以在时间上追溯到更远。让我们从一个相关的高阶概念，或者从定义它的公理系统，以及属于它的一个任意选择的关系系统（比如说，一个集合论系统，可能带有urelements）重新开始。新的建议是这样进行的：我们“从其元素的特殊性质中抽离出来”，从而得出一个应该被称为“自然数”的新的、好的关系系统（参见Dedekind 1888，特别是Reck 2003中的解释）。其用意在于，这种抽象所引入的对象只具有结构属性，或者更好的是，只在本质上具有这些的属性。而且，这些对象共同构成了一个与我们开始的系统同构的系统（这与我们刚刚考虑的等价类不同）。最后，我们现在考虑的是后者的相关抽象结构。

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