Stewart Shapiro SEP原文（一） (10-6)

在Shapiro和其他版本中，非取消式结构主义涉及到这样一个论题：关于数学对象的，最重要的是它们的结构属性（而不是进一步的内在属性）。事实上，这种属性被认为是决定对象的同一性（identities）。但是，如此一来，在这方面无法区分的对象——“结构上不可区分者（structural indiscernibles）”——看上去似乎应该被视作同一（should be identified）。正如几位批评者在2000年前后所指出的，这导致了结构主义的“同一性问题”（参见Keränen 2001，早先的Burgess 1999）。它突出地出现在非严格的（non-rigid）系统或结构上，即允许非平凡的自同构（non-trivial automorphisms）。在这种情况下，有一些所谓的不同对象在这种相关意义上是无法区分的。一个广为人知的例子是（带有共轭数i和-i）复数系统；但几何学和图论等提供了更多的例子。最简单的例子可能是一个没有边的无标记2元素图，它的两个顶点在结构上是不可分辨的。

从结构主义的角度看，如何处理这种情况？（这种）结构主义是否如一些批评者所指控的那样，根本就是不一致的？或者说，它至少不适用于非严格的情况，这将大大限制它的范围？这个文献中已经对同一性问题提出了几种对策。一个建议是通过扩大使用的词汇来“严格化（rigidify）”这类结构，例如，通过为复数添加常量符号“i”（要么扩大至原始语言，要么扩大至背景中使用的“设定（setting）”的语言，参见Halimi 2019）。但这在许多，甚至可能数不清的不可分辨者（“不可数的”）的情况下似乎还是有问题的。另一个建议是把同一性当作一个原始概念，可以说是数学实践的一部分。但在这种情况下，也仍然存在一些问题（特别见 Ladyman 2005, Button 2006, Leitgeb & Ladyman 2008, Shapiro 2008, Ketland 2011, and Menzel 2018）。

结构主义的第二个更基本的问题也开始于关于数学对象最重要的是其结构属性的观点。就非取消式结构主义而言，这有时会被强化为数学结构中的位置以及抽象结构本身“只具有结构属性”的论述。但如果没有更仔细地表述，就会导致反例（参见Reck 2003）。例如，自然数结构难道不具有它是在许多关于结构主义的争论中人们最喜欢的例子这一属性吗？而长期以来人们认为9是太阳系中行星的数量，这难道不是数字9的一个属性吗？这两者似乎都明显是非结构性的属性。结构主义又一次显得不一致，或者说，至少需要进一步澄清。

对这一挑战的自然反应是完善原来的结构主义论题，例如，说抽象结构只具有“本质上”的结构属性，只有这种属性对它们来说才是“构成性的（constitutive）”，或者类似的东西，同时承认它们也具有其他属性（见Reck 2003, Schiemer & Wigglesworth forthcoming）。这就导致了关于究竟如何进行这种区分的问题。但即使认为这构成了一个令人满意的回应，另一个问题仍然存在。我们首先如何区分“结构性”属性和“非结构性”属性？对于这个问题，人们依次提出了几种答案，例如，结构性属性是指那些可以以某种方式定义的属性，或者说它们是那些在相关的态射（morphisms）下保存的属性。然而在这个问题上也没有达成共识（参见Korbmacher & Schiemer 2018，也可参考其中列出的进一步文献）。

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