Stewart Shapiro SEP原文（一） (10-4)

虽然Resnik和Shapiro的结构主义立场有时会被等同起来，但考虑到已经提到的差异，这是有些许误导性的。不过，两者还是有很大的重叠。两者都承认数学结构是一些其中带有位置等的模式，（不管这些模式是否因此在实在论意义上被当作成熟的对象）。且对于Resnik和Shapiro来说，同构（isomorphism）的概念是至关重要的（或一些相关的、更一般的等价性（equivalence）概念；见Resnik 1997和Shapiro 1997）。也就是说，对于相关的结构/模式，两者可以被任何一类相关的同构关系系统所例化。这对应于这样一个事实，即有关的公理系统，对于自然数、实数以及类似的情况，都是范畴的（或者在集合论的情况下是准范畴的）。当然，并不是每个数学公理系统都有这个特点，例如，群论或环论的公理系统允许非同构实例或模型。对于Resnik以及Shapiro来说，这种“代数”理论要用不同的、更为衍生的方式来处理；他们的结构主义观点是意在主要适用于“非代数”理论，范式性地讲，是主要适用于算术。

20世纪80年代还有另一种结构主义的立场，它与此截然不同，显然不是实在论的立场，即Geoffrey Hellman提出的立场（参见Hellman 1989, 1996及以后的文章）。对Resnik和Shapiro来说，灵感是1965年Benacerraf的文章，而Hellman的出发点则是1967年Putnam的文章。事实上，Hellman的“模态结构主义”意在系统地发展Putnam的模态化if-then-ism。如今，模态方面的内容被详细地阐述出来了，而且实在巧妙，包括对于集合论的情况（在Zermelo等人的工作基础上）。

对Hellman来说，一个句子，如“2+3=5”被分析如下：

必然地，对于所有关系系统M，如果M是Dedekind-Peano公理的一个模型，那么2ᴍ＋3ᴍ＝5ᴍ 。

为了避免非空性问题，他增加了以下假设：

可能存在一个M，使得M是Dedekind-Peano公理的模型。

（我们将在下面回到它的正当化）。

正如Hellman所明确指出的，他的目标是发展一种“无结构的结构主义”(Hellman 1996)的形式，因为由Resnik和Shapiro所假设的抽象结构的存在，被他的立场的模态方面（以及关于必然性和可能性的相关假设）所取代。事实上，Hellman的立场意在成为一种唯名论的形式，即取消对任何一种抽象实体（不仅是抽象结构，而且还有集合等）的诉求。然而，它也并不意味着要依赖possibilia，即以某种模糊的意义存在的可能对象。这就导致了Hellman对有关模态的一种具体理解。它们是被认为基本的，即相关的可能性和必要性不能再还原为任何东西。另一方面，它们正是以模态逻辑的法则（系统S5的法则）所清楚规定的。

1.3 结构主义立场的第一种分类法

从20世纪80年代末开始，Shapiro和Hellman的立场常常被当作结构主义的两大选择。(这一点在Hellman & Shapiro 2019中仍有体现。)由于它们有很大的不同，这已经表明，将“数学哲学中的结构主义”视为一种唯一的立场或统一的观点是错误的，即使某些一般性的口号是共同的。除此之外，其他版本的结构主义在20世纪80年代末和90年代初开始扮演主要角色（我们将看到，包括其时间可以追溯到比20世纪60年代更久远的“集合论结构主义”的形式）。因此，关于结构主义的讨论变得既丰富又复杂。

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