罗素悖论的提出对【数学界的影响】 (5-4)

罗素和怀特海一起，写了一本巨著，叫做《数学原理》（Principia Mathematica）来阐述这种方案。这是一部在思想上划时代的、但是在实际上毫无用处的经典著作。因为这个理论的代价就是它极尽繁复之能事：我们每涉及一个集合就必须要搞清楚它是“哪一层”的，进而要一层层向下穷究，原本一两行就可以说明的事情，需要几十页才行 – 而且还不总是可行。据称这套三卷2000页的巨著，知道300多页之后才开始定义自然数“1”，而直到600多页才开始定义加法！此外，为了解决层层嵌套带来的麻烦，罗素还引入了一个公理，叫做“还原公理（axiom of reducibility）”，成了另一个雷。且不说这个公理的有效性如何，从根本上说，它就不是一个逻辑定律 。那么罗素的整个工作的初衷 – 把数学还原成为纯逻辑 – 就被彻底破坏掉了。罗素本人也为这个公理反复纠结，最终只能承认它并非逻辑必需。更何况，罗素在他的理论中用到了无穷公理和选择公理，这两个货虽然不像还原公里那么不招人待见，但是一般也不被认可为纯逻辑公理，因而数学的逻辑化就难以为继。最后，他只能无奈地宣称，或许集合论也不是数学中最基础的理论，我们在数学基础探索道路上可能还有很长的路要走。

所以，基本上可以说，罗素悖论让逻辑主义之梦陷入尴尬境地。

应该说，逻辑主义其实多多少少继承了数学柏拉图主义中的实在论部分（弗雷格本人就是一个坚定的数学柏拉图主义者，二罗素则是鲜明的实在论者），数学的实在性、客观性、必然性全部都可被还原为了逻辑。在这里，逻辑主义中的“逻辑”可以被简单描绘成：

A logical proposition is a proposition which has a complete generality and is true in virtue of its form rather than its contents[2]

相比罗素的方案，对罗素悖论更加实用有效的处理来自公理化（更进一步，形式化）。在这里人们其实并没有“解决”这个悖论，而是通过公理体系的约束，规避了它。这个就是ZF(C)公理体系，这也是在我们现代数理逻辑课本中看到的内容。像前面所述，这个公理体系中，无穷公理和选择公理并不能被还原成为逻辑。这在随后被希尔伯特倡导，成为形式主义纲领。

如果说逻辑主义对应着哲学中的实在论，那么形式主义大约对应的就是唯名论。它在方法论上和逻辑主义比较类似，但是初衷却是不同的。形式主义把数学看成一种形式语言，一种按照某种规则操作的无意义的符号组合。虽然它和逻辑主义一样，注重形式演绎，但是可能是因为它并不执着于把数学还原为一种有意义的理论基础，它在实用中更加有效。大约是现代数学中影响最广的一个纲领罢。

当然，形式主义之梦也被一个年轻人击碎了，这个人就是哥德尔。这里就不接着说了。

当然，在罗素悖论之后，还有另外一个纲领崛起，试图给数学提供一个基础，就是直觉主义。直觉主义似乎是继承了更多康德的东西，把数学看作是一种从先验直观上构建起来的东西，它是人类构造的、因而就是依赖于人的思维的：

Mathematics is the mental activity which consists in carrying out constructs one after another。[2]

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