罗素悖论的提出对【数学界的影响】 (5-3)

1902年，在他的著作第二卷即将发表之时，53岁的弗雷格收到了一个30岁年轻人的来信。这个年轻人，就是罗素；在这封信中，罗素表达了它对弗雷格犹如滔滔江水连绵不绝般的崇敬，然而，在信中的末尾，看似不起眼的一个小小的“但是”，却摧毁了弗雷格的一切。弗雷格突然发现，他建立的牢固逻辑基础本身，坐落在一个松软的沙滩上摇摇欲坠。这里主要有两个原因，一个是他大量使用“概念的外延”来定义集合，也就是说用一个性质来定义一个集合（非限制概括公理）；另一个，是他大量地使用“集合的集合”、“集合的集合的集合”这类嵌套集合。而罗素指出，这是不能随意使用的。这会必然导致逻辑矛盾，而这个矛盾就是上面所说的“罗素悖论”。

罗素悖论的出现，在当人们终于看到了数学基础问题的曙光时，又一次让确定的数学真理之梦变得虚无缥缈。事实上，在同时代还有若干个其它版本的悖论，它们都与罗素悖论相类似，而罗素悖论以其简洁和明确成为这些悖论的代表。弗雷格看到罗素的信件之后，立即认识到自己理论的缺陷，然而当时他的第二卷著作已经付印，不可能再进行修改，他只得在书中加了这样一段补遗：

“在工作完美收官之际，却突然发现整个基础都必须要放弃，对一个科学家来说没有什么能比这个更加不幸的了。是罗素的一封信件让我认识到这一点，我不得不在本书即将出版之际加以说明。”

我们可以想见，弗雷格当时的心情是何等沮丧。弗雷格在余生再也没能够从这个打击中恢复过来。

始作俑者罗素虽然虽然发现了弗雷格的缺陷，但是他却坚信弗雷格的思想是一条康庄大道：数学，归根结底就是逻辑。悖论不可怕，只要能想办法解决之，悖论会推动而不是打击数学的发展，人们终将意识到数学的本质。于是罗素接过了弗雷格的大旗，成为逻辑主义纲领的统帅。

其实罗素早在弗雷格还没有完成他的工作之时就已经深受悖论的困扰。为了解决这些悖论，他仔仔细细地研究了当时的几个著名的代表，最后他认定，这些悖论有一个基本的根源：它们都是自指的。也就是说，它们自己引用了自己。弗雷格的集合论中允许用一个性质来定义一个集合，因而它是躲不过这种自指怪圈的。

我们形象地把集合当做一个可以“装”某种性质的事物的口袋，那么我们可以说“可以装下所有苹果的口袋”，这在逻辑上毫无问题。但是，在很多情况下我们需要把一些口袋打包装起来，这时我们就需要一种能装口袋的口袋。那么，如果我们要求有一种“可以装下所有口袋的口袋”，就需要它自己装下它自己了！

罗素把这种“自指”成为“恶性循环”（vicious circle）。要想消除悖论，就必须躲过恶性循环。他的方案就是“分层”。简言之，苹果是一个层次，口袋是比苹果高一层的对象，而装口袋的口袋是比单纯的口袋更高一个层面的对象。单纯的口袋只能装具体的事物，而装口袋的口袋可以装单纯的口袋 – 但是不能装“装口袋的口袋”。只有高一层的才可以装本层的对象。

就像它绕口令般的描述一样，这个方案极其复杂。集合是“分层”的：基本的具体对象是最底层，这些对象的集合和对象的性质是第二层，这些对象的集合的集合、性质的性质是第三层，以此类推。这样一来，诸如“所有集合的集合”之类就不再包含它自己了：因为它是比“所有集合”更上一层的概念。这样一来我们就可以继续使用集合论中那些有效的部分，又避免了悖论的产生。

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