罗素悖论的提出对【数学界的影响】 (5-2)

3、数学的必然性和超验性：数学原理不但可以判定为真，而且它可以判定为“必然真（necessarily true）”。它不必、也不能被经验检验：例如说，1+1=2，我们不必历数每一种具体过程 - 把一个东西和另一个东西放在一起，数一数它们是不是两个 - 我们就知道它必然是真的。它不像是自然科学那样的经验科学，比如说，能量守恒我们认为它是真的，但是我们总是可以通过实验检验它，并且可以想象下一次实验有可能就不满足能量守恒了。它是数学不是这样的，它不需要经验来检验，或者说与经验无关。

类似这些问题，被称作数学的理论基础问题，也是数学哲学的最核心问题，在20世纪之前被数学柏拉图主义主导的思想中，是毫无疑义的。以这个思想为内核，数学蓬勃发展，硕果累累。但是这些作为基础的思想内核，人们却没有一个严密的逻辑体系来证明它们。这段历史被克莱因称作[1]：

“一门逻辑学科不合逻辑地发展”。

19世纪下半叶，情况出现了突破，先是形式逻辑大发展，然后，康托尔建立了集合论。这两者就成了解决数学基础问题的利器。弗雷格就成了这场关于数学严密化行动的先驱。

在弗雷格看来，康德的先验综合判断是一个很奇怪的东西。从这里出发，而把数学最终归结为先验直观，更加难以立住脚。直觉是一个说不清道不明的东西，把整个数学建立在这种迷迷糊糊的基础上未免太不可靠。而且我们经历过太多的貌似违反直觉而实际上是正确的判断，因而我们根本就不能真正地把直觉当做一种严肃的东西来对待。他于是回到了前康德时代的观念：所有先验的，必定是分析的；而所有综合的，必定不是先验的。因此他完全同意数学是一种先验知识，但是他反对数学是综合知识这种说法。他说，数学它是一种被巧妙包装的分析判断，从表面上看貌似综合判断，如此而已。

例如康德说，2+3从这两个数字本身并不蕴含任何关于5的性质，因而2+3=5是一个综合判断，但是数学显然又是先验的，于是2+3=5就是先验综合判断。但是弗雷格说，从2、3、以及“+”的定义中，我们应该可以找到一种必然的蕴含关系：2+3本身就蕴含了所有的5的性质，因而它应该是一个分析判断。我们所要做的，就是要对2、3、“+”做出合理的定义来使得这种判断是分析的 – 因而也就是必然的和先验的。而这种定义，必须也必然仅仅用到逻辑定律，它是纯逻辑的，因而必然是分析的。只有纯逻辑的基础，才是我们所能做到的最牢固的基础。推而广之，整个数学就是一种精巧包装的复杂的逻辑关系，而不应包含任何额外的非逻辑的“原生”数学成分。这就是数学基础的逻辑主义纲领。

总而言之，弗雷格的目标就是，数学应该归结为纯逻辑。为了达成这一目标，弗雷格必须要证明数学是纯分析的，也就是说，他需要建立一套逻辑体系，仅在这套逻辑体系中，通过基本的逻辑原理，即可定义和演绎出全部的数学。从集合论出发，弗雷格完成了这样的逻辑体系。弗雷格的整个推论过程，可以说是很严密很牢靠了 - 至少在他自己看起来如此。1893年，他完成了著作《算术的基本定律》，把这种对数学基础的重新构建系统化地发表了。对这本书他显然很得意，他说：

“我希望现在我可以宣布，本书使得这样的努力成为可能：把算术的基本原理归结为分析判断、进而证明它们是先验的。这样一来算术只不过是逻辑的一种延伸。数学的每一个判断都是一种逻辑定律，或是其推演物。在科学中应用数学就是在观察到的事实中应用逻辑关系；计算就是推理。”

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