罗素悖论的提出对【数学界的影响】 (5-1)

罗素悖论在数学史上是一个极其鲜明的转折点，应该说它的提出其重要性丝毫不亚于无理数、虚数、以及非欧几何的发现。它的出现，是所谓的“数学基础危机（crisis of fundamentals of mathematics）”的导火索。也有人（一般在中文科普圈子里）把它与无理数的发现、无穷小的问题、并称，叫做作“第三次数学危机”。

罗素悖论，顾名思义，是数学家和哲学家罗素最先提出的，是朴素集合论中的一个著名悖论。在朴素集合论里，我们可以用枚举的方式定义一个集合，比如说：

集合1={1,2,3}

说的是由1、2、3三个自然数组成的集合

但是在绝大多数情况下，用枚举的方式来定义集合显然是不现实的，比如说，所有的自然数构成一个自然数集，我们显然不可能把自然数一一枚举出来。所以，朴素的集合论中有一个公理，叫做“无限制概括公理”，说的是：

对于任何一个性质，满足该性质的所有元素，构成一个集合。

这样一来，我们就可以用一个性质来定义一个集合。这个公理看起来相当正确且无害，但是麻烦就是从这里来的。

如果我们问，一个集合的元素可以包括它自己吗？以这个公理来看，这个问题的答案是肯定的。比如说，所有“包含无穷多个元素的集合”的集合，它显然包含了无穷多个元素，那么它就包含了它自身。

那么我们可以这样来定义一种集合：

所有“元素不包括自己的集合”的集合。

我们把这个集合叫做A，那么，A的元素包括它自己吗？假设A不包括它自己，那么，A就满足“元素不包括自己的集合”这个性质，所以它就必然包括它自己，这是个矛盾；如果我们假设A包括它自己呢？那么根据A的性质，它必然不包括它自己，也是个矛盾。

这个悖论有一个更加通俗的版本，叫做“理发师悖论”，这个悖论是这样的：

小城里的理发师放出豪言：他只为，而且一定要为，城里所有不为自己刮胡子的人刮胡子。但问题是：理发师该为自己刮胡子吗？如果他为自己刮胡子，那么按照他的豪言“只为城里所有不为自己刮胡子的人刮胡子”他不应该为自己刮胡子；但如果他不为自己刮胡子，同样按照他的豪言“一定要为城里所有不为自己刮胡子的人刮胡子”他又应该为自己刮胡子。

那么，这个悖论是在何种背景下产生的、又为何是重要的呢？

集合论是整个数学学科的逻辑基础。现代数学，几乎全部都是建立在集合论基础上的。在19世纪之前，人们为数学的理论基础问题在黑暗中摸索，但是进展缓慢。这些问题主要包括：

1、 数学的抽象实在性：很显然，数学命题都是有真假的 - 它要么是真的，要么是假的。但是数学对象很显然又是一些抽象对象。例如说自然数、函数、几何点线面，它们不是一种具体的、存在于时空之中的、我们可以观察和实证的实体。那么它们的真假性来自何处？

2、数学的客观性：对于同一个数学命题，它的真假并不依赖于某种特定的主体。1+1=2，不论何人、何时、何地，对它的判断都不会有所不同。甚至说，即使没有人类，这个命题仍然成立吗？这个问题早期的数学家是坚信无疑的。

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