Sylow 定理 (3-1)

老师与学生交流剧情：

啊，如果考试的时候让我自己证明 Sylow 定理，我大概会这么证：先把一个群G 同构到对称群 Sₙ 的子群，也就是把每个群元素的左乘看作一个排列；然后再把 Sₙ 同构到矩阵群 GLₙ(𝔽ₚ) 的子群中去，把每个排列看成对 𝔽ⁿₚ 向量元素的重新排列操作。后者我们知道是有个 Sylow 子群的，就是上三角矩阵，所以下面我们需要证明如果一个群有 Sylow 子群，那么它的子群也有 Sylow 子群 ——

停停停，老师说，我不是想让你当场发明一个新的证明。你不是说你看了书，内容都学过了吗？书上怎么讲的？

呃 ...... 第一个定理说的是，如果群G 有 pⁿm 个元素，其中 p 是素数， p ∤ m ，那么 G 有一个 Sylow 子群，也就是一个大小为 pⁿ 的子群。书上讲的应该是，构造了一个聪明的群作用，好像是 G 作用在它所有大小为 pⁿ 的子集上。怎么作用的？要么是左乘，要么是共轭。我记不住是哪个了，先试试左乘？下面考虑轨道和稳定子群。怎么考虑呢，我记得和 p 的整除性有关系，哦不对，当时好像不是某个轨道里的东西变成了 Sylow 子群，好像是某个别的有关的东西神奇地成为了 Sylow 子群？稳定子群？啊想不起来了。如果我要证明的话，还是把群放进 GLₙ(𝔽ₚ) 最自然。

最自然？我不这么认为，老师说，别人任意给我一个群，我怎么会自然地想到矩阵这个糟糕的东西。矩阵和自由群是代数中两个最糟糕的东西，做题的时候不要往这上想。给了你一个 pⁿm 个元素的群，不知道它的任何结构，让你找一个大小为 pⁿ 的子群，你最自然的想法是怎么找？

呃，不能用矩阵——那我先找一个p 阶的元素，这是 Cauchy 定理。然后再往里加东西，就像给一个向量空间找基一样，或许有某种 Zorn 引理的方法——

我们的群都是有限的，用什么 Zorn ......

您这意思是说，让我直接找一个最大的p 子群？

就是这样！老师说，所以我们第一句话是，设H 为 G 里最大的 p 子群。非常自然。我们希望 H 的大小是 pⁿ ，也就是说， |G|/|H| 不能被 p 整除。现在怎么办呢？ |G|/|H| 这个东西我们不喜欢，因为 H 是一个随机的东西， G/H 不一定是群，极大地限制了我们能做的事。所以怎么办？

你说，G/H 不是群怎么办，那我让他是群呗。拿出 H 的正规化子 N＝Nɢ(H) ， N/H 就是群了。啊哈，这个想法好， N 就是 H 在共轭下的稳定点，那么 |G|/|N| 也有意义！我们可以写出

|G| |G| |N|

──＝── · ──＝(H ) · ( N/H )

|H| |N| |H|

就是这样！老师说。我们希望这个不被p 整除。先看这个商群。做题的时候，凡是遇到商群，你首先应该想到什么？

◯N ↘

◯ q→ N/H

◯ ↗ ◯

商群？你说，那当然是商映射，毕竟商群就是为了研究群同态，用来代表值域的东西嘛。设 q：N → N/H 为商映射，这是个把每 |H| 个元素映射到一个元素的满射同构。下面怎么办？要证明 p 不整除这东西的值域的大小。不整除，这怎么证？

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