Sylow 定理 (3-2)

是啊，不整除，每次遇到这种句子你应该怎么办，比如“方程x⁴＋y⁴＝z⁴ 没有解”这种否定句子——

反证法！你说，那我假设p 整除这个群的大小，嗯，那我就有 Cauchy 定理，找一个大小为 p 的子群。为什么不能有大小为 p 的子群？我们手上有个商映射，那把这个子群拉回去看看，我们得到了一个——大小为 p|H| 的子群！啊，这与 H 是最大的 p 子群矛盾！

很好，所以N/H 的大小不被 p 整除是很容易证明的。这就是为什么我们一定要找一个群来工作。下面来看这个更麻烦的集合：设 X 为 H 的共轭组成的集合。自然地， G 以共轭作用在这个集合上。可是只有一个轨道，怎么更好地利用这个群作用呢？我们一开始希望的是这个集合的大小不被 p 整除。什么样的群作用可以和 p 扯上关系？

你思考了一会。需要一个群作用来判断p 的整除性。这个技巧我好像见过，你想，那是在证明一个大小为 pⁿ 的群的中心不平凡的时候。那现在我们就需要一个这种群。 H 就是这样的。所以您说的是，让 H 以共轭作用在 Ⅹ 上？

老师微笑说，你继续。

好，那H 以共轭作用在 H 的所有共轭构成的集合上。因为 H 的大小是 p 的幂，轨道要么只有一个元素要么有 p 的倍数个元素。假如所有轨道大小都是 p 的倍数怎么办？

这很明显是不可能的，为什么？老师问。

很明显？

对。哪个轨道很明显只有一个元素？

H 作用在 H 的共轭组成的集合上。啊，那就是 H 了，它最特殊，如果用 H 的东西共轭得到的东西总会在 H 里。可如果万一我们正好有 p – 1 个 H 的别的共轭，轨道也只有一个元素怎么办？

那我们就来看看吧，老师说。假设gHg⁻¹ 就是这样一个共轭，那么公式

h(gHg⁻¹)h⁻¹＝gHg⁻¹

对H 中的所有 h 都成立。这样的话，整个群 gHg⁻¹ 在共轭作用下都让 H 成为不动点。也就是说， gHg⁻¹ 被包含在 N 里，然后呢？

⇁ N/H

~S⁻¹HS ⇁ (e)

10 S⁻¹Hs＜MRQ →＝N

10 S⁻¹Hs＝H

呃，N 这里又拿出来了，是不是在提示我也要把刚才那个商映射 q：N → N/H 拿出来呢？如果我们把 gHg⁻¹ 用 q 送进 N/H 里，我们发现，发现我们得到的一个单元素集合！因为 gHg⁻¹ 和 H 一样大！而 gHg⁻¹ 本身又是个群，所以那个单元素必须是 1 ！也就是说， gHg⁻¹ ⊂ ker q。也就是说，gHg⁻¹＝H。Sylow 定理得证！

真的吗，你确定？老师问。

你想了一下。Sylow 定理说的是，第一，存在 Sylow 子群；第二，Sylow 子群的数量除p 余 1 ——如果每个 Sylow 子群都在 X 里多好啊——可这说的是，每个 Sylow 子群都共轭，所以第二条和第三条等价。那这就是我们现在的愿望，想每个 Sylow 子群都在 Ⅹ 里。为什么呢？

很好，但这很简单，老师说，因为方法跟刚才一样。

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