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罗素悖论的提出对【数学界的影响】 (5-1)

罗素悖论在数学史上是一个极其鲜明的转折点,应该说它的提出其重要性丝毫不亚于无理数、虚数、以及非欧几何的发现。它的出现,是所谓的“数学基础危机(crisis of fundamentals of mathematics)”的导火索。也有人(一般在中文科普圈子里)把它与无理数的发现、无穷小的问题、并称,叫做作“第三次数学危机”。

罗素悖论,顾名思义,是数学家和哲学家罗素最先提出的,是朴素集合论中的一个著名悖论。在朴素集合论里,我们可以用枚举的方式定义一个集合,比如说:

集合1={1,2,3}

说的是由1、2、3三个自然数组成的集合

但是在绝大多数情况下,用枚举的方式来定义集合显然是不现实的,比如说,所有的自然数构成一个自然数集,我们显然不可能把自然数一一枚举出来。所以,朴素的集合论中有一个公理,叫做“无限制概括公理”,说的是:

对于任何一个性质,满足该性质的所有元素,构成一个集合。

这样一来,我们就可以用一个性质来定义一个集合。这个公理看起来相当正确且无害,但是麻烦就是从这里来的。

如果我们问,一个集合的元素可以包括它自己吗?以这个公理来看,这个问题的答案是肯定的。比如说,所有“包含无穷多个元素的集合”的集合,它显然包含了无穷多个元素,那么它就包含了它自身。

那么我们可以这样来定义一种集合:

所有“元素不包括自己的集合”的集合。

我们把这个集合叫做A,那么,A的元素包括它自己吗?假设A不包括它自己,那么,A就满足“元素不包括自己的集合”这个性质,所以它就必然包括它自己,这是个矛盾;如果我们假设A包括它自己呢?那么根据A的性质,它必然不包括它自己,也是个矛盾。

这个悖论有一个更加通俗的版本,叫做“理发师悖论”,这个悖论是这样的:

小城里的理发师放出豪言:他只为,而且一定要为,城里所有不为自己刮胡子的人刮胡子。但问题是:理发师该为自己刮胡子吗?如果他为自己刮胡子,那么按照他的豪言“只为城里所有不为自己刮胡子的人刮胡子”他不应该为自己刮胡子;但如果他不为自己刮胡子,同样按照他的豪言“一定要为城里所有不为自己刮胡子的人刮胡子”他又应该为自己刮胡子。

那么,这个悖论是在何种背景下产生的、又为何是重要的呢?

集合论是整个数学学科的逻辑基础。现代数学,几乎全部都是建立在集合论基础上的。在19世纪之前,人们为数学的理论基础问题在黑暗中摸索,但是进展缓慢。这些问题主要包括:

1、 数学的抽象实在性:很显然,数学命题都是有真假的 - 它要么是真的,要么是假的。但是数学对象很显然又是一些抽象对象。例如说自然数、函数、几何点线面,它们不是一种具体的、存在于时空之中的、我们可以观察和实证的实体。那么它们的真假性来自何处?

2、数学的客观性:对于同一个数学命题,它的真假并不依赖于某种特定的主体。1+1=2,不论何人、何时、何地,对它的判断都不会有所不同。甚至说,即使没有人类,这个命题仍然成立吗?这个问题早期的数学家是坚信无疑的。

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