数学定理（二） (2-2)

令f⁻ᵏ¹ [b₀]∩αᵢ₁＝b₁ ，现在证明 fᵏ² [c₂] ⊇ b₁：假设 x∈b₁＝f⁻ᵏ¹ [b₀]∩αᵢ₁，即 x∈αᵢ₁∧fᵏ¹(x) ∈ b₀，由于对于任意 cₙ 都有 fˡⁿ [cₙ] ⊇ b₀，因此存在 y∈c₂ 满足 fᵏ¹⁺ᵏ² (y)＝fᵏ¹ (x) ，换言之 f⁻ᵏ² (x)∩c₂ ≠ ∅ ，由 c₂ 定义知 c₂ ⊇ f⁻ᵏ² (x) ∩αᵢ₂，因此 x∈fᵏ² [c₂] ，即 fᵏ² [c₂] ⊇ b₁ 。令 f⁻ᵏ² [b₁]∩αᵢ₂＝b₂，既然 fᵏ² [c₂] ⊇ b₁，那么 fᵏ² [b₂]＝b₁ 。重复上述操作得到 b₃，b₄，· · ·，即令 f⁻ᵏⁿ⁺¹ [bₙ] ∩αᵢₙ₊₁＝bₙ₊₁ ，类似可证 fᵏⁿ⁺¹ [cₙ₊₁] ⊇ bₙ 和 fᵏⁿ⁺¹ [bₙ₊₁] ＝bₙ，且 bₙ ⊆ αᵢₙ 。现在根据 (bₙ) n∈ω 定义题目想要的满射 g：

如果x∉∪bₙ

n∈ω

，令 g(x)＝x ；令 g[b₀]＝0 ；若 x∈bₙ₊₁ ，令 g(x)＝f(x)。则定义的 g(x) 即为所求。⊣

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