无穷基数（第二版本） (4-1)

高静华 田志诚

(大兴安岭教育学院 加格达奇 165000)

摘要

较为系统和深入介绍了可数无穷基数的一些重要性质 ,扼要分析了这些性质与正则基数 ,不可

达基数.

弱紧基数、 Mah lo基数、可测基数之间的逻辑联系 ,说明了可数无穷基数是无穷集理论中最有意义的概念 .

关键词

可数无穷，大基数，集合公理系统，独立性命题

中图分类号 O14

在一定意义上可以说，高等数学与初等数学的根本区别是无限与有限的区别.

在理论数学

的现代文献中，集合论是绝大多数理论分支的基础.

而集合论实质上是关于无穷集合的计数理

论，即基数理论与序数理论 .

本文将分别介绍可数无穷的一些“初等”性质和较“高等”的性质，

并阐明其在理论发展的重要意义 .

1 可数无穷基数 0的初等性质

可数无穷基数0作为一个无穷数是比每个自然数都大的最小的数 .

它表示自然数集合中元素的“个数” (势)，也就是含有 0的所有自然数的集合，并作为所有与自然数集集合等价的集合的势的代表 ,所以也称为可数无穷势 (由于不回避选择公理 ,本文不区别势与基数 ).

在用到基数概念的教材中，都会提到如下的一个性质 [1]

命题1：0是最小的无穷基数 ,即任何无穷集的基数都不小于 0

这表明，从有限计数理论 (自然数理论)，到规定和使用 0 ，是从有限到无限的第一步.

由于人们实际可操作和最易于理解的对象是有限的对象，所以人们总希望能够将无限化归为有限.

在数学各分支中，寻求将无限化归为有限的情形和处理方法比比皆是.

如讨论无穷级数的

有限和； n 维向量空间中的一组基；波雷尔有限覆盖定理及由此引伸出来的紧致性等 .

然而，并非无限都可化为有限 .

退而求其次 ,最好就是可以将不可数无穷化归为可数无穷的情况.

而且，可数无穷还有一个极有用的性质，即所谓有限可归纳性.

命题 2

〔2〕

： X 0〔0∈ X ∧ (n∈ X → n + 1∈ X ) → X = 0〕.

这个性质表明，对一个可数无穷的集合，可利用归纳法来探讨其某些性质 .

由于归纳法的具体实施是一步一步进行的 ,所以是一种使人乐于接受的初等的“有限式” 的方法.

我们在高等数学中会常常见到各种将高层次无穷转化为可数无穷的相关概念或利用可

数无穷集刻划不可数无穷的方法.

如在分析不中用有理数集及柯西列定义实数;拓扑学中的Lindel off性，第一可数与第二可数性，可分性等.

许多深刻并有广泛用途的著名结论也

是由类似的思想方法得到的 .

如分析中用序列收敛刻划连续性及拓扑学中有名的乌里松引理等等.

综上可见 ,深刻理解和掌握可数无穷的“初等” 性质 ,即它与有限的密切联系 ,对于掌握高

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