无穷基数（第二版本） (4-2)

等数学的许多经典内容是十分重要的 .

2 0的进一步性质与大基数理论

在集合论的基数理论中有一个称为不可达基数的无穷基数 .

这个无穷基数之大也许会令人感到惊讶.

因为在通常所采用的ZFC集合公理系统中，不仅不能证明不可达基数的存在性，也不能证明它与ZFC的相对协调性

〔3〕

.由于 0 只是 ZFC中无穷基数的第一块基石 ,所以 0与不可达基数看上去似乎是风马牛不相及的 .

其实不然.

在下面的叙述中我们可以认识到，在一定意义上说，不可达基数不过是 0 的一个“影子” 而已.

任何人都知道 ,有限个有限集的并是有限集.这个性质的形式化表达为: A α ( (|A|＜0 ) ∧ (α ∈ A→|α|＜0 ) → |∪ A|＜0 ).其中 |A|表示集合 A的基数.

这个性质可称为 0 的正则性.

由此可引入如下概念：

定义 1 无穷基数 λ是正则的，若

A α ( (|A|＜λ) ∧ (α ∈ A→ |α|＜λ) → |∪ A|＜ λ).

注：正则基数的正式定义是利用共尾数概念给出的，即 cf(λ)＝λ

〔2〕

.

对于无穷基数而言，定义 1与此等价.

若广义考虑，每个有限数也可看成正则的 .

但意义与上面两种定义不同，而是将

每个后继无穷基数为正则这一结果推广到有限基数来考虑.

0不是任何基数的后继，即在 0前的任何基数 n与 0之间都有别的基数.

这种性质称为极限性.

定义 2 基数 λ不是任何基数的后继，称 λ是极限基数 .

由于可数个可数集的并是可数集，所以第一个不可数基数 0是正则的.

其实可以证明每

个无穷后继基数都正则的，如 1，2，… n…等.而排在每个 n 后面的第一个基数 ω(也可记为0) .

便是第二个极限基数.

但它却不是正则的，因为 ω＝∪n∈ ω

n (ω表示自然数集合 ) .

定义 3 不可数的正则极限基数称为弱不可达基数 .

不难看出 ,若不要求不可数性，0恰是一个“不可达”基数.

所以不可达基数并不神秘，它只是 0的两个基本性质在不可数无穷层次的“叠合投影”罢了.

然而，由 ZFC系统对不可达基数的无能为力可以认识到，0自身所具有的内涵远比表面上看到的要深刻和丰富得多，以至于被人作为数学基础的 ZFC公理系统远不足以完全刻划这些性质的全部内在联系.

定义 4 设 λ是不可数基数

(Ⅰ)λ称为强不可达的 ,若任意 κ＜λ，有 2κ＜λ.

(Ⅱ) 若 λ不可达 ,且其前面的正则基数构成一平稳集，称 λ为 Mahlo基数.

(Ⅲ)λ称为可测基数，若 λ上有一 λ— 完备的非主超滤子.

(Ⅳ)λ满足 λ→ (λ)2，称为弱紧基数.

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