数学联邦政治世界观
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指标定理(一) (11-9)

Let Vectⁿℝ(B) denote the set of isomorphism classes of n-dimensional real vector bun-dles over B,[B,Gₙ] denote the set of homotopy classes of maps B → Gₙ,then we have a surjection

Vectⁿℝ(B) → [B,Gₙ]

Moreover,if B is a CW-complex (or simplicial complex),then this correspondence is in fact one-to-one.

Theorem 5 Let ξ be α υector bundle oυer B,f₀,f₁:B' → B αre continuous mαps such thαt f₀ is homotopic to f₁.Then if B' is α CW-complex,ωe hαυe f*₀(ξ) ≅ f*₁(ξ).

The proof is done by induction on the skeleta of B'.

Therefore for a CW-complex B we have

₁:₁

Vectⁿℝ(B) ↔ [B,Gₙ(ℝ∞)],and similar-ly

₁:₁

Vectⁿℂ(B) ↔ [(B,Gₙ(ℂ∞)]. In this sense,Gₙ is called the classifying space for n-dimensional vector bundles,γⁿ is called the universal n-plane bundle,and f:B → Gₙ is called the classifving map for ξ.

This is true for general paracompact space. See Theorem 1.6 in Vector Bundles αnd K-Theory by Hatcher. We sketch the proof in the case of a compact,Hausdorff base.

Theorem 6 Let X be compαct Hαusdorff. Let E

→ B be α υector bundle αnd f₀,f₁: X → B homotopic mαps. Then f*₀(E) ≅ f*₁(E).

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