西罗定理 (3-1)

西罗第一定理：对于任意素数p， pᵏ 整除有限群 G的阶，则G 中有 pᵏ 阶子群。

证明: 主要思路是考虑群G在G的全体pᵏ 元子集上的群作用，使得集合中某个元素的稳定子阶为 pᵏ 。

设|G|＝pˡm ， (m，p)＝1 。于是 k ≤ l ，令 r＝l – k 。设G的全体 pᵏ 元子集为 Ω ，

(pˡm)

显然 |Ω|＝(pᵏ)。定义群作用 σ：G × Ω → Ω ， σ(g，ω)＝{gx丨x ∈ ω}， g · ω＝σ(g，ω) 。

我一直觉得代数的记号很原始，比如G × Ω → Ω，柯里化一下就是 G → (Ω → Ω) ，对于任意 g∈G ， σ(g) 用lambda表示 σ(g)＝x → g · x 。于是 σ(αb)＝x →(αb) · x＝x → α · (b · x)＝σ(α)◦σ(b)， σ(e)＝x → x，其中 x → x 是 SΩ 的单位元。 σ(g)◦σ(g⁻¹)＝σ(g⁻¹)◦σ(g)＝idΩ，于是 σ(g) 是 Ω 上的双射， σ(g) ∈ SΩ ， σ 是G → SΩ 的同态。

对于任意ω ∈ Ω ， x ∈ ω ， Gω 为 ω 的稳定子， G(ω) 为 ω 的轨道。 x ∈ ω ⊂ G， Gω＜G， Gωx是 Gω的右陪集，∀g ∈ Gω ， g · ω＝ω ， gx ∈ ω ， Gωx ⊂ ω ，因此|Gω|＝|Gωx| ≤ |ω|＝pᵏ 。根据轨道稳定子定理

|G| pˡm

|G(ω)|＝── ≥ ──＝pʳm。

|Gω| pᵏ

如果存在 ω 使得 Gω＝pᵏ ，原题得证，否则 ∀ω ∈ Ω 都有 |G(ω)|＞pʳm 。

我们只关心p的阶，引入p进求值函数υₚ(x)，他代表素数p在x中的阶。由代数基本定理有 υₚ(x × y)＝υₚ(x)＋υₚ(y) ，υₚ(x＋y) ≥ min{x，y} 。

∀ω ∈ Ω：υₚ(|Gω|) ≤ k，当不存在 ω 使得 υₚ(|Gω|)＝k，则 υₚ(|Gω|)＜k 。根据轨道稳定子定理 |G|＝|Gω| × |G(ω)| ， υₚ(|G|)＝υₚ(|Gω|)＋υₚ(|G(ω)|)， υₚ(|G(ω)|)＞1 – k＝r ，|Ω|＝∑G(ωᵢ)＝min(ω₁，ω₂，. . .，ωₙ)＞r

i∈l

（其中 ωᵢ 为每条轨道的代表元）。

(pˡm) pˡm (pˡm – 1)

|Ω|＝ ＝── ×

(pᵏ) pᵏ (pᵏ – 1)

pˡm pᵏ – 1 pˡm – i pˡm

＝── × ∏ ───＝──

pᵏ i＝1 pᵏ – i pᵏ

i

pᵏ – 1 pˡ⁻υₚ⁽ⁱ⁾m – ──

υₚ(i)

× ∏ ────────

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