西罗定理 (3-2)

i＝1 pˡ⁻υₚ⁽ⁱ⁾ – i

──

υₚ(i)

，其中 i＜pᵏ ，υₚ(i)＜k ≤ l ，因此 p丨pˡ⁻υₚ⁽ⁱ⁾ 且 p丨pᵏ⁻υₚ⁽ⁱ⁾ ，

i

但 p ∤ ──，

υₚ(i)

求积符号里的每一项都没有p的因子。 υₚ(|Ω|)

pˡm

＝υₚ (──)＝r，与 (|Ω|)＞r 矛盾，

pᵏ

因此一定存在 ω 使得 |Gω|＝pᵏ 。

西罗第二定理：群G的p子群包含于某个西罗p子群，西罗p子群彼此共轭

引理：p群H在集合 Ω 有一个群作用 σ：H × Ω → Ω，则 |Ω| ≡ |Ω₀|(mod p)。

定义 Ω 上的关系，因此p││H(ωᵢ) 他满足自反性： σ(e，α)＝α ，对称性： σ(g，α)＝b 则 σ(g⁻¹，b)＝σ(g⁻¹，σ(g，α))＝σ(g⁻¹g，α)＝α，传递性： σ(g，α)＝b， σ(h，g)＝c 则 σ(gh，α)＝σ(g，σ(h，α))＝c 。它是一个等价关系，每个等价类是 Ω 的一个轨道。如果某个轨道只有一个元素 ω ，则他的稳定子

|H|

|Hω|＝───＝|H|，

H(|ω|)

于是 ω 是不动点，他的稳定子是整个群。

令Ω₀ 为 Ω 的所有不动点，|Ω|＝|Ω₀|＋∑|H (ωᵢ)| i∈l

，其中 ωᵢ 为非不动点轨道代表元，因此 H(ωᵢ)＞1，又 |H(ωᵢ)|

|H|

＝ ───，

|Hωᵢ|

因此 p丨丨H(ωᵢ) ， |Ω| ≡ |Ω₀|(mod p)。

证明：对于任意G的p子群H，西罗p子群P，令Ω 为G到P的左商集，

[G]

|Ω|＝[G：P]＝──＝m。

|P|

定义群作用 π：H × Ω → Ω ， π(h，gP)＝(hg)P 。由引理 |Ω| ≡ |Ω₀|(mod p) ， |Ω₀|＞0 ，因此 Ω 有不动点 gP 。 ∀h ∈ H，π(h，gP)＝(hg)P＝gP，于是 hg~g （左陪集等价）， g⁻¹hg ∈ P ，设 g⁻¹hg＝p ，h＝gpg⁻¹ ∈ gPg⁻¹ ， H ⊂ gPg⁻¹ 。当H是西罗p子群时

|H|＝|P|＝|gPg⁻¹| ，于是 H＝gPg⁻¹ ， 因此西罗 p子群彼此共轭， gPg⁻¹ 也是西罗p子群。

西罗第三定理：群G的阶为 pˡm 且， (m，p)＝1，令西罗p子群的个数为 ⁿp ，则：

1. nₚ|m ，m为西罗p子群在G中的指数。

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