Steinhaus定理的证明 (3-1)

这篇短文的目的主要是回顾一下实分析中经典的Steinhaus定理，并介绍该定理的一个推广。最后我们将用这些结果来解决两个很有趣的问题。

首先我们来回顾一下Steinhaus定理的叙述：

Theorem I (Steinhaus). 若 A ⊂ ℝ 是一个勒贝格可测集，并且 μ(A)＞0. 则集合 A – A＝{α – b：α，b ∈ A}中包含一个零点的开邻域.

证明：根据勒贝格密度定理（另一个比较简单的证明也会放在文末)，对于任意 ε ∈(0，1)， 存在 𝐼＝(α，b) 使得 μ(A∩𝐼)＞(1 – ε)μ(𝐼).假设定理的陈述是错误的，那么存在一个实数列 xₙ → 0 但是 xₙ ∉ A – A. 那么根据假设 xₙ＋A ⊂ ℝ – A，否则 xₙ ∈ A – A. 现在取 n 充分大使得 |xₙ|＜εμ(𝐼). 我们有

μ(𝐼∩(xₙ＋A))＝μ((𝐼 – xₙ)∩A)

≥μ(𝐼∩A) – μ((𝐼\)𝐼 – xₙ))∩A)

≥μ(𝐼∩A) – μ((𝐼\(𝐼 – xₙ).

注意这里我们用到了勒贝格测度μ 的单调性和平移不变性. 另外，注意到当 |xₙ| 充分小时我们有 μ(𝐼\(𝐼 – xₙ))＝|xₙ|.

最后，由于A，Aᶜ＝ℝ – A 是不交的，我们有

μ(𝐼)＝μ((𝐼∩A))∪(𝐼∩Aᶜ))

≥μ(𝐼∩A)＋μ(𝐼∩(xₙ＋A))

＞(1 – ε)μ(𝐼)＋(1 – ε)μ(𝐼) – |xₙ|

＞(2 – 3ε)μ(𝐼).

由于ε＞0 是任意的，我们可以选择 ε 充分小，使得 2 – 3ε＝3/2＞1..那么我们得到 μ(𝐼)＞3μ(𝐼)/2. 从而我们推出了矛盾. 这就完成了证明. ◾

下面我们来看Steinhaus定理的一个推广：

Theorem II. 假设 A ⊂ ℝ 勒贝格可测并且 μ(A)＞0. 假设 fᵢ(x)，i＝1，2，. . .，n 是定义在0附近的一个开邻域上的函数，并且 fᵢ 在 x＝0 处连续， fᵢ(0)＝0，i＝1，2，. . .，n. 那么集合H＝{h ∈ ℝ：∃x ∈ ℝ s.t.x＋fᵢ(h) ∈ A，i＝1，. . .，n} 包含0点的一个开邻域.

证明：根据勒贝格密度定理，存在区间 𝐼＝(α，b) 使得 μ(A∩𝐼)＞(1 – ε)μ(𝐼). 现在考虑集合

Aᵢ(h)＝A – fᵢ(h)， i＝1，. . .，n.

并且我们取|h| 充分小，此时 fᵢ(h) → 0，所以

ₙ

∩Aᵢ ≠ ∅.不难验证存在 t ∈ (α，b)

ᵢ₌₁

使得

ₙ

t∈∩Aᵢ.这是因为

ᵢ₌₁

μ(A∩𝐼)＞(1 – ε)μ(𝐼)＞0，所以我们可以取到 t∈(α，b)于是

t＋fᵢ(h) ∈ A， i＝1，. . .，n.

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。