Steinhaus定理的证明 (3-3)

ε 1

μ(∪)＜μ(A)＋───μ(A)＝───μ(A).

1 – ε 1 – ε

我们知道ℝ 上的开集可以写成可数多个不交开区间的并： ∞

∪＝∐ 𝐼ₙ. 于是我们有

ₙ₌₁

1 ∞ 1 ∞

μ(∪)＜───∑μ(A∩𝐼ₙ) ≤ ───∑(1 – ε)μ(𝐼ₙ)

↑ 1 – ε ₙ₌₁ 1 – ε ₙ₌₁

＝μ(∪).

但是我们得到了μ(∪)＜μ(∪). 矛盾. 于是这就完成了证明. ◾

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