Steinhaus定理的证明 (3-2)

但是这就说明h∈H. 这就说明存在 δ＞0，并且 δ 只取决于区间 𝐼＝(α，b)，s.t. 当 |h|＜δ时 h∈H. 这就完成了证明. ◾

下面我们来看两个有趣的应用，第一个应用是今年丘赛分析第三题的加强版：

Theorem III (丘赛2022分析第3题). 假设 A ⊂ ℝ 勒贝格可测并且 μ(A)＞0. 证明 A 中包含任意长度 n ≥ 1 的等差数列.

证明：考虑函数 fᵢ(h)＝ih，其中 i＝0，1，. . .，n – 1. 根据Theorem II，集合

H＝{h ∈ ℝ：∃x ∈ ℝ，x＋fᵢ(h) ∈ A，i＝1，. . .，n}

包含0点的一个开邻域. 所以H 非空，于是存在一个长度为 n，公差为 h∈H 的等差数列. ◾

第二个结论学过实分析的同学应该比较熟悉，也就是我前几天在回答里提到的：

Theorem IV. 假设 A ⊂ ℝ 勒贝格可测并且 μ(A)＞0. 那么 A 必然包含一个不可测的子集.

证明：我们先回顾一下Vitali集的定义和性质. 在 ℝ 上定义等价关系 x~y ⇔ x – y ∈ ℚ. 从 ℝ/~ 中每一个等价类选一个代表元，就组成了Vitali集 V . 定义 Vᵣ＝r＋V，r ∈ ℚ. 可以验证：

• 当 s ≠ t 时 Vₛ∩Vₜ＝∅. 不然就存在 υ₁，υ₂ ∈ V，υ₁＋s＝υ₂＋t. 所以 υ₁ – υ₂＝t – s ∈ ℚ. 从而 υ₁ ~ υ₂ 这于定义矛盾.

• ℝ∪Vᵣ.

r∈ℚ

对于任意的 y∈ℝ，假设 y ∈ [x]. 设 z ∈ V 为 [x] 选出的代表元. 那么 y ~ x ~ z. 于是 s：＝y – z ∈ ℚ.所以 y ∈ Vₛ ⊂ ∪ Vᵣ.

r∈ℚ

于是根据第二条我们有

A＝A∩(∪Vᵣ)＝∪A∩Vᵣ.

r∈ℚ r∈ℚ

我们证明存在形如A∩Vᵣ 的集合非空，并且这就是我们要找的不可测集. 存在这样的非空集是显然的. 如果所有这样的非空集都可测，那么

μ(A)＝μ(∪A∩Vᵣ) ≤ ∑μ(A∩Vᵣ).

r∈ℚ r∈ℚ

现在设E＝A∩Vᵣ，D＝E – E. 显然 D 不包含0的任何开邻域，因为 D 中所有的元素都是无理数. 所以根据Steinhaus定理， μ(E)＝μ(A∩Vᵣ)＝0. 由于这等式对任意的非空 A∩Vᵣ 都成立，所以 μ(A)＝0. 矛盾. ◾

最后我们给出文章最开始用到的引理的一个简单证明：

Lemma V. 假设 A ⊂ ℝ 勒贝格可测并且 μ(A)＞0. 则对于任意 ε ∈ (0，1)，存在区间 𝐼＝(α，b) 使得 μ(A∩𝐼)＞(1 – ε)μ(𝐼).

证明：假设定理陈述错误，那么存在 ε ∈ (0，1) 使得对于任意区间 𝐼 都有 μ(A∩𝐼) ≤ (1 – ε)μ(𝐼). 根据勒贝格测度的正则性，我们有 μ(A)＝inf{μ(∪)：A ⊂ ∪，∪ open}. 于是存在开集 ∪ ⊃ A 使得

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