实数（一） (6-6)

(lll)序公理 ℝ 的元素之间有关系 ≤ ，即对于 ℝ 中的任意元素 x，y 满足 x ≤ y，或者不满足。同时应满足以下条件：

1≤.∀x∈ℝ(x ≤ x).

2≤.(x ≤ y)∧(y ≤ x) ⇒ (x＝y)，

3≤.(x ≤ y)∧(y ≤ z) ⇒ (x ≤ z).

4≤.∀x ∈ ℝ∀y ∈ ℝ((x ≤ y)∧(y ≤ x)).

这表示ℝ 中的任意两个元素之间能够比较大小，因这种性质我们称 ℝ 为线性序集。

(l，lll) ℝ 中的加法与序关系之间的联系 如果 x，y，z 是 ℝ 中的元素，那么，

(x ≤ y) ⇒ (x＋z ≤ y＋z).

(ll，lll) ℝ 中的序关系与乘法之间的联系 如果 x，y 是 ℝ 的元素，那么，

(0 ≤ x)∧(0 ≤ y) ⇒ (0 ≤ x · y).

(lV)完备(连续)公理 如果 X 与 Y 是 ℝ 的非空子集，且具有性质：对于任何 x∈Ⅹ， y∈Y，有 x ≤ y，那么，存在 c ∈ ℝ ，使得对于任何的 x∈X，y∈Y 有 x ≤ c ≤ y. 到此为止便是实数公理的所有内容，我们可以说满足以上公理的任何集合都被称之为实数集。

相比之下，实数集的公理化构造更加完善和简洁，实数的性质被更加清晰的展现出来。但不知道为什么，这种纯粹形式的构造总让我觉得有点恍惚，就好像一个人给你一个菜谱说这就是红烧狮子头一样。这是因为在这种构造中，我们更加关注的是实数集长什么样子，而不是其元素到底是什么，相当于宏观的角度审查实数集。

三、柯西序列构造实数

相比于前两种实数的构造方法，一个是利用数轴的分割定义实数，一个是专注于描述实数集到底长什么样子而建立的公理系统，两个都很简洁直观。柯西列的角度与此不同，柯西列是一种计算直观的构造，好歹也是实数的构造之一，所以就简略写在这里了[3]。

首先给出柯西列的定义：一个数列{αₙ} 被叫做柯西列，当且仅当对于任何 ε＞0 ，存在自然数 N＞0，使得任意的 m，n＞N，都有 |αₘ – αₙ|＜ε 成立。

那么由柯西列就可以定义实数了，我们把有理数的所有柯西列组成的集合叫做实数集。

ℝ：＝{{αₙ}丨{αₙ} }

参考

1. 参考冯琦的《数理逻辑导引》

2. 选自卓里奇《数学分析》

3. 参考陶哲轩《陶哲轩实分析》

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