数学联邦政治世界观
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实数(一) (6-6)

(lll)序公理 ℝ 的元素之间有关系 ≤ ,即对于 ℝ 中的任意元素 x,y 满足 x ≤ y,或者不满足。同时应满足以下条件:

1≤.∀x∈ℝ(x ≤ x).

2≤.(x ≤ y)∧(y ≤ x) ⇒ (x=y),

3≤.(x ≤ y)∧(y ≤ z) ⇒ (x ≤ z).

4≤.∀x ∈ ℝ∀y ∈ ℝ((x ≤ y)∧(y ≤ x)).

这表示ℝ 中的任意两个元素之间能够比较大小,因这种性质我们称 ℝ 为线性序集。

(l,lll) ℝ 中的加法与序关系之间的联系 如果 x,y,z 是 ℝ 中的元素,那么,

(x ≤ y) ⇒ (x+z ≤ y+z).

(ll,lll) ℝ 中的序关系与乘法之间的联系 如果 x,y 是 ℝ 的元素,那么,

(0 ≤ x)∧(0 ≤ y) ⇒ (0 ≤ x · y).

(lV)完备(连续)公理 如果 X 与 Y 是 ℝ 的非空子集,且具有性质:对于任何 x∈Ⅹ, y∈Y,有 x ≤ y,那么,存在 c ∈ ℝ ,使得对于任何的 x∈X,y∈Y 有 x ≤ c ≤ y. 到此为止便是实数公理的所有内容,我们可以说满足以上公理的任何集合都被称之为实数集。

相比之下,实数集的公理化构造更加完善和简洁,实数的性质被更加清晰的展现出来。但不知道为什么,这种纯粹形式的构造总让我觉得有点恍惚,就好像一个人给你一个菜谱说这就是红烧狮子头一样。这是因为在这种构造中,我们更加关注的是实数集长什么样子,而不是其元素到底是什么,相当于宏观的角度审查实数集。

三、柯西序列构造实数

相比于前两种实数的构造方法,一个是利用数轴的分割定义实数,一个是专注于描述实数集到底长什么样子而建立的公理系统,两个都很简洁直观。柯西列的角度与此不同,柯西列是一种计算直观的构造,好歹也是实数的构造之一,所以就简略写在这里了[3]。

首先给出柯西列的定义:一个数列{αₙ} 被叫做柯西列,当且仅当对于任何 ε>0 ,存在自然数 N>0,使得任意的 m,n>N,都有 |αₘ – αₙ|<ε 成立。

那么由柯西列就可以定义实数了,我们把有理数的所有柯西列组成的集合叫做实数集。

ℝ:={{αₙ}丨{αₙ} }

参考

1. 参考冯琦的《数理逻辑导引》

2. 选自卓里奇《数学分析》

3. 参考陶哲轩《陶哲轩实分析》

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