实数（二） (5-1)

本文的主要目的是通过有理数集的分划（也就是Dedekind分划法）给出实数公理系统的一个模型，或者说将实数从有理数“构造”出来。为此，我们将先给出实数的代数结构（即实数的公理），然后证明我们构造的有理数集分划满足这个结构，此外我们还要证明这样构造出来的实数在同构意义下是唯一的。本文的构造部分主要参考了Walter Rudin的Principle of Mathematical Analysis第一章的附录，唯一性部分的证明是作者自己写的。

l.实数的代数结构

在构造实数之前，我们从代数的角度看，希望实数具有这样一些代数结构：

1. 实数集是一个全序集，即满足存在一个二元关系，对于实数集上的任意两个元素有

x ≤ y，y ≤ x

至少一个成立。如果两个式子同时成立，我们就记x＝y。我们也自然而然地采用 ≥，＜＞ 这些符号。

1. 实数集具有最小上界性，即对于实数集的子集 A ，如果存在一个实数 α 满足 α 大于中的一切元素（即 α 是 A 的一个上界），那么存在一个实数 s 满足

(S1)s 是 A 的上界；

(S2)对于一切实数r＜s ， r 不是的上界。

我们记s＝sup A 。这一条公理记作确界原理。

1. 实数集是一个域，即满足以下域的公理：

实数集上有一种二元运算加法＋：ℝ × ℝ → ℝ满足

(A1)交换律，即对于α，b∈ℝ 有 α＋b＝b＋α ；

(A2)结合律，即对于α，b，c∈ℝ 有 (α＋b)＋c＝α＋(b＋c)；

(A3)存在零元，即存在一个数0 满足对任意 α∈ℝ 有 α＋0＝α ；

(A4)存在逆元，即对于任意α∈ℝ ，存在一个 b∈ℝ 使得 α＋b＝0 。我们自然地记 b＝ –α 。

实数集上有一种二元运算乘法 ℝ × ℝ → ℝ 满足（公理采用一般写法，即省略乘号）

(M1)交换律，即对于α，b∈ℝ 有 αb＝bα ；

(M2)结合律，即对于α，b∈ℝ 有 (αb)c＝α(bc) ；

(M3)存在单位元，即存在一个数0 满足对任意 α∈ℝ 有 1 · α＝α ；

(M4)存在逆元，即对于任意α∈ℝ\{0} ，存在一个 b∈ℝ\{0} 使得 αb＝1 。我们自然地记

1

b＝── 。

α

加法与乘法满足分配律，即对任意α，b，c∈ℝ 有

(D)α(b＋c)＝αb＋αc

1. 实数集是一个有序域，满足

(O1)对任意x，y，z ，当 y＜z 时有 x＋y＜x＋z ；

(O2)对任意x，y＞0 ，有 xy＞0 。

除了这些结构以外，我们还希望有理数是实数的一个子域，并且实数集是唯一的、不依赖于我们的构造方式。

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