实数（一） (6-5)

从而根据反证法，我们就得知了r 一定是 ∩Y 的最大元，这样的话， ∩Y 就不再是一个实数了，这时，我们只要将这个最大元去掉就得到了所需的下确界（在这个例子中，下确界就是 Aᵣ）。可以验证，如果这里的 A 不是一个有理数，那么 ∩Y 就不再有最大元了，从而其直接就是下确界。

总结一下，一个一般的非空有界集合[公式] 的下确界为，

{∩Y ，∩Y

l：＝

{∩Y – {max(∩Y)}，∩Y

这样我们就证明了实数集的序完备性质！

关于戴德金分割的探索就先告一段落了，虽然这后面还有很多东西可以做，但这恰好不在我们的讨论范围内。

二、利用实数公理构造实数

实数集的构造不止戴德金分割一种，实数公理也是一种简洁而优美的方法，我在知乎的写的第一篇文章中提到过，现在摘抄在这里[2]。

2.1、实数公理

(l) 加法公理 确定了一个映射（加法运算）

＋：ℝ × ℝ → ℝ.

使得对于ℝ 中的任意二元 x，y 的有序对 (x，y) ，有某元 x＋y∈ℝ 与之对应，称 x＋y 为 x，y 之和，同时该映射满足以下条件：

1₊.存在中性元 0 （叫做加法零元），使得对于任何的 x∈ℝ，

x＋0＝0＋x＝x.

2₊.每个元 x∈ℝ 都有元 –x∈ℝ，叫做 x 的负元，使得

x＋(–x)＝0.3₊.

运算＋ 是结合的，即 ℝ 中的任何 x，y，z 满足条件

x＋(y＋z)＝(x＋y)＋z.

4₊.运算＋是交换的，即 ℝ 中的任何 x，y满足

x＋y＝y＋x.

加法公理说明了ℝ 是阿贝尔群。

(ll)乘法公理 确定了一个映射（乘法运算）

•：ℝ × ℝ → ℝ.

使得对于ℝ 中的任何二元 x，y 的有序对 (x，y) ，有某元 x · y∈ℝ与之对应，称为 x，y 之积，同时该映射满足一下条件：

1．.存在中性元 1 ，使得对于任何的 x∈ℝ\0 ，

x · 1＝1 · x＝x.

2．.每个元 x∈ℝ\0 都有对应的元 x⁻¹∈ℝ\0 ，使得

x · x⁻¹＝1.

3．.运算 • 是结合的，即 ℝ 中的任何 x，y，z 都有

x · (y · z)＝(x · y) · z.

4．.运算 • 是交换的，即 ℝ 中的任何 x，y 都有

x · y＝y · x.

乘法公理说明了ℝ\0 关于乘法是一个群。

(l，ll)加法与乘法的联系 乘法对加法具有分配性，即对于 ∀x，y∈ℝ，

(x＋y) · x＝x · z＋y · z.

满足以上公理的任何集合是一个代数域，可想而知ℝ 就是一个代数域。

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