实数（一） (6-4)

相对应的，一个实数A 是无理数，当且仅当 ℚ – A 没有最小元。

为什么说这个定义是有理数的分割呢？前面我们提到过光是有理数是不能将数轴填满的，总存在间隙。而有理数分割的含义，形象的说，就是将数轴一刀两断，并且用左边的那一半含有的所有有理数代表切到的实数。

实数的序关系可以直接用集合的包含关系得到，对于A，B∈ℝ ，称 A＜B 当且仅当 A ⊂ B 。

实数的序完备还可以直接从这个定义得到。什么是序完备？对于实数集的任意一个非空有界的子集合，一定存在一个最小的上界，称之为上确界；也一定存在一个最大的下界，叫做下确界。这就是实数集的序完备性。

如何从定义得到实数集的X 序完备性？考虑有两个实数 A，B∈ℝ ，怎么得到 {A，B} 的上确界呢，其实在这种情况下（有限），上确界就是最大元。我们发现，要么 A ⊂ B ，要么 B ⊂ A ，要么 A＝B ，所以只要作二者的并集 A∪B，这个并集就是最大元，也就是上确界了。

在一个一般的有界子集合X 中，我们也是用这种方法，作 Ⅹ 的所有元素的并集，我们记作 ∪X ，令 S＝∪X ，可以验证 S 符合我们对于实数的定义，实际上 S 就是集合 X 的上确界了。

这是可以证明的，如果我们假设S 不是集合 X 的上确界，那么一定存在一个比 S 更小的上界 S' ，使得 S'＜S＝∪X ，且对于所有的 A∈X ，都有 A＜S' ，这显然是不可能的，因为 S'＜∪X ⇒ S'⊂ ∪X ，而根据实数的定义，对于任意的 r∈S' ，一定存在 s∈S＝∪X 使得 r＜s ，只要构造一个有理数 Aₛ ，其中 Aₛ＜S，就能证明 S'＜Aₛ ，而这与“实数 S' 是集合 X 的一个上界”相矛盾。

如何证明下确界存在呢？你也许已经猜到了。还是考虑两个元素的子集合{A，B∈ℝ} ，如何求得其下确界呢？在有限的情况下，下确界其实就是最小元，所以只要取 A，B 的交集 A∩B ，容易验证这个交集满足实数的定义，而且这个交集就是下确界。

在一个一般的有界子集合Y 中，我们同样也是采取这个方法，取 Y 的所有元素的交集，我们记作 ∩Y （注意 ∩Y 的元素为 ℚ 中的有理数），接下来是很重要的一步，现在还不能说 ∩Y 是一个实数，因为在下面的例子中我们会发现 ∩Y 有可能有最大值！这就不满足实数的定义了！

我们令Y 为实数轴上的一个开区间，比如说 Y＝(A，B)：＝{C∈ℝ|A＜C＜B，A，B∈ℝ}，现在考虑当 A 是有理数的情况！也就是说存在一个 r∈ℚ，使得 A＝Aᵣ：＝{x∈ℚ|x＜r} 。我们有结论， ∩Y 有最大元 r ！

这是为什么呢？因为Y 是一个开区间，所以 Aᵣ 是不属于 Y 的，但是对于任意的 C∈Y ，我们发现 Aᵣ＜C ⇒ Aᵣ ⊂ C ⇒ r∈C，所以我们断定最终 r∈∩Y 。这样我们就只要证明 r 为 ∩Y 的最大元，即对于任意的 s∈∩Y ，有 s ≤ r 。假设不然，在 ∩Y 中存在比 r 更大的数，比如说 r'∈∩Y，使得 r＜r' ，所以 Aᵣ'∈Y ，按照 ∩Y 的定义，若 r'∈∩Y ，那么对于任何的 C∈Y ，都应该有 r'∈C ，然而这是不可能的，我完全可以找到一个数 r''∈ℚ ，使得 r＜r''＜r' （比如 r，r' 的中点），由此构造的实数 Aᵣ'' 也属于 Y，但 r' 就不再属于 Aᵣ'' 了。

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。