实数（一） (6-3)

这样的 m，n 当然不止一个，所以这就是我们将有理数定义为等价类的原因（等价类就是这样的 m，n 组成的集合）。

同样的，为了今后我们便于记忆，我们将形如[(m，n)] 的等价类记成 m

──，

n

，也就是 m

──：＝[(m，n)]。

n

这就是我们熟知的有理数的表示方法了。

整数集上的序关系也可以用这个构造来定义，比如[(m₁，m₂)]＜[(n₁，n₂)] ⇔ m₁n₂＜n₁，m₂。

还可以类似的构造有理数的加法，乘法等后续运算法则。

1.4、实数集的构造

为什么古希腊人会向往有理数集？为什么毕达哥拉斯学派不承认无理数？我是这么理解的，如果世界上只存在有理数，那么世间的所有量都可以通过等分，然后与标准尺度比较准确度量。当我随便给你一个数，你都能够将它写成一个整数与另一个整数的比值，试想一下，这将会是多大的便利——任何数都是整数的等分！！！

但理想很美满，现实很骨感，人们还是发现，仅仅是有理数并不能将数轴填满，总存在无穷个间隙。这样，一种无论如何都不能写成整数的比值的数就诞生了，古希腊的数学家们认为这是人类理性的崩坏，是观念和理想的崩塌，自然不能接受。

但实数并不是理性的崩坏，人类理性最终还是拿下了实数这匹野马。戴德金分割是我见过最优雅的构造实数的方式。它将实数定义为有理数的分割！

设ℚ 为我们已经构造过的有理数集， ℝ 为我们将要构造的实数集合。我们称幂集 P(ℚ) 为 ℚ 的所有子集所构成的集合，即：

P(ℚ)：＝{X|X ⊂ ℚ}

一个集合A∈P(ℚ) 是一个实数，当且仅当 A 同时满足以下条件：

• A不是空集；

• A 有上界，就是说存在有理数 r∈ℚ ，使得对于任何 x∈A ，都有 x＜r；

• A 是左闭关的，这句话的意思是说，对于任何的有理数 α∈ℚ，如果有一个 b∈A，使得 α ≤ b ，那么 α∈A 。就是说 A 包含了所有在其范围内的有理数。

• A 中没有最大元，所以对于任意的 x∈A，总存在 y∈A ，使得 x＜y 。或者说 A 是一个开集。

这样我们就能够定义实数集了，实数集ℝ 定义为 ℝ：＝{A∈P(ℚ)|A}。

那么如何才能在这个定义里找到有理数呢？对于一个x∈ℚ ，定义 Aᵣ：＝{x∈ℚ|x＜r} ，这就是一个有理数 r 在 ℝ 中的定义！你可以检验一下，这个集合满不满足上面的四个条件。

我们发现，如果A 是一个有理数，那么一定存在一个 r∈ℚ ，使得 A＝Aᵣ，定义差集 ℚ – A：＝{x|x∈ℚ∧x∉A}，就是属于 ℚ 但不属于 A 的元素组成的集合，那么显然，集合 ℚ – A 有最小元，而且最小元为 r ，如若不然，还有更小的 s∈ℚ – A，使得 s＜r，根据实数 A 的定义，一定有 s∈A ，而这与“ s 属于 ℚ ，但不属于 A ”相矛盾，所以 r 一定是最小元。所以 A 是一个有理数当且仅当 ℚ – A 有最小元！！！

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