数学联邦政治世界观
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实数(一) (6-3)

这样的 m,n 当然不止一个,所以这就是我们将有理数定义为等价类的原因(等价类就是这样的 m,n 组成的集合)。

同样的,为了今后我们便于记忆,我们将形如[(m,n)] 的等价类记成 m

──,

n

,也就是 m

──:=[(m,n)]。

n

这就是我们熟知的有理数的表示方法了。

整数集上的序关系也可以用这个构造来定义,比如[(m₁,m₂)]<[(n₁,n₂)] ⇔ m₁n₂<n₁,m₂。

还可以类似的构造有理数的加法,乘法等后续运算法则。

1.4、实数集的构造

为什么古希腊人会向往有理数集?为什么毕达哥拉斯学派不承认无理数?我是这么理解的,如果世界上只存在有理数,那么世间的所有量都可以通过等分,然后与标准尺度比较准确度量。当我随便给你一个数,你都能够将它写成一个整数与另一个整数的比值,试想一下,这将会是多大的便利——任何数都是整数的等分!!!

但理想很美满,现实很骨感,人们还是发现,仅仅是有理数并不能将数轴填满,总存在无穷个间隙。这样,一种无论如何都不能写成整数的比值的数就诞生了,古希腊的数学家们认为这是人类理性的崩坏,是观念和理想的崩塌,自然不能接受。

但实数并不是理性的崩坏,人类理性最终还是拿下了实数这匹野马。戴德金分割是我见过最优雅的构造实数的方式。它将实数定义为有理数的分割!

设ℚ 为我们已经构造过的有理数集, ℝ 为我们将要构造的实数集合。我们称幂集 P(ℚ) 为 ℚ 的所有子集所构成的集合,即:

P(ℚ):={X|X ⊂ ℚ}

一个集合A∈P(ℚ) 是一个实数,当且仅当 A 同时满足以下条件:

• A不是空集;

• A 有上界,就是说存在有理数 r∈ℚ ,使得对于任何 x∈A ,都有 x<r;

• A 是左闭关的,这句话的意思是说,对于任何的有理数 α∈ℚ,如果有一个 b∈A,使得 α ≤ b ,那么 α∈A 。就是说 A 包含了所有在其范围内的有理数。

• A 中没有最大元,所以对于任意的 x∈A,总存在 y∈A ,使得 x<y 。或者说 A 是一个开集。

这样我们就能够定义实数集了,实数集ℝ 定义为 ℝ:={A∈P(ℚ)|A}。

那么如何才能在这个定义里找到有理数呢?对于一个x∈ℚ ,定义 Aᵣ:={x∈ℚ|x<r} ,这就是一个有理数 r 在 ℝ 中的定义!你可以检验一下,这个集合满不满足上面的四个条件。

我们发现,如果A 是一个有理数,那么一定存在一个 r∈ℚ ,使得 A=Aᵣ,定义差集 ℚ – A:={x|x∈ℚ∧x∉A},就是属于 ℚ 但不属于 A 的元素组成的集合,那么显然,集合 ℚ – A 有最小元,而且最小元为 r ,如若不然,还有更小的 s∈ℚ – A,使得 s<r,根据实数 A 的定义,一定有 s∈A ,而这与“ s 属于 ℚ ,但不属于 A ”相矛盾,所以 r 一定是最小元。所以 A 是一个有理数当且仅当 ℚ – A 有最小元!!!

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