实数（一） (6-2)

对于任意两个二元有序组(m₁，m₂) 和 (n₁，n₂) ，定义一个关系 ≈ₗ ，称两个二元有序组满足这个关系 (m₁，m₂)≈ₗ (n₁，n₂)，只有当 m₁＋n₂＝n₁＋m₂ 时成立，之所以用加法，是因为我们还没有严格定义减法“－ ”，如果不理解的话，可以移项 m₁ – m₂＝n₁ – n₂，我们也可以将这个关系称为“差值相等“[1]。

可以验证关系≈ₗ 为一个等价关系。什么是等价关系？只要满足三个条件，它就是一个等价关系：第一，自反性 m ≈ₗ m；第二，对称性，即若 m ≈ₗ n ，那么 n ≈ₗ m ；第三，传递性，即若 m ≈ₗ n ，且 n ≈ₗ l，那么 m ≈ₗ l 。

我们把与二元有序组(m，n) 按照 ≈ₗ 关系等价的所有元素组成的集合叫做 (m，n) 的等价类： [(m，n)]：＝{(i，j)∈ℕ × ℕ|(i，j)≈ₗ (m，n)}。

可以验证，所有形似(m，n)的二元有序组，要么与 (i，0) “差值相等”，要么与 (0，j) “差值相等”，其中 i，j∈ℕ。原因很容易理解，若 m ≥ n，那么 m – n＝i – 0＝i ，所以只要 i 为 m 与 n 的差值即可；若 m＜n，m – n＝0 – j， 所以只需要 j＝n – m 即可。

发现了吗？i 在有序组 (i，0) 中的位置蕴含了这个数的正负性！所以我们断定，所有二元有序组 (m，n) 组成的集合 ℕ × ℕ 可以依照关系 ≈ₗ 划分为两种等价类（它们的集合称之为商集），即： ℕ × ℕ/≈ₗ＝{[(i，0)]，[(0，j)]丨i，j∈ℕ}。

我们所说的整数集就可以定义为ℤ：＝{[(i，0)]，[(0，j)]丨i，j∈ℕ}。 其中的每一个元素叫做整数，它表示成一个等价类的形式。也就是说，我们将整数定义为自然数之间的差。

为了方便记忆，我们今后就将形似[公式] 等价类记作 i （或者＋1），比如

1：＝[1，0]，2：＝[(2，0)]，3：＝[(3，0)]，· · ·

–1：＝[0，1]，–2：＝[(0，2)]，–3：＝[(0，3)]，· · ·

这样就是我们熟知的整数集的样子了。

整数集上的序关系“＜”定义为， [(m₁，m₂)]＜[(n₁，n₂)] ⇔ m₁＋n₂＜n₁＋m₂ 。还可以类似的定义整数集上的加法，乘法这些运算。

1.3、有理数的构造

和整数集的定义类似，我们会将有理数集定义为整数的比。有理数的构造得依赖于整数的构造，令 ℕ⁺＝ℕ – {0}，也就是除去0以外的所有自然数集。对于二元有序组 {i，j} 组成的集合 。ℤ × ℕ⁺ ＝{(i，j)|i∈ℤ，j∈ℕ⁺}。我们又来定义一个关系 ≈Q ，称两个二元组 (m₁，m₂) 和 (n₁，n₂) 满足关系 ≈Q，只要 m₁ · m₂＝n₁ · m₂，就是说： (m₁，m₂) ≈Q (n₁，n₂) ⇔ m₁ · n₂＝n₁ · m₂ 。

同样，我们将有理数集ℚ 定义为集合 ℤ × ℕ⁺ 与等价关系 ≈Q 的商集， ℚ：＝ℤ × ℕ⁺/≈Q＝{[m，n]丨m∈ℤ，n∈ℕ⁺} 。里面的元素叫做有理数，它们是与 m，n 比值相等的所有二元组的等价类，这句话的意思就是说，一个数是有理数 x∈ℚ 当且仅当它能够写成整数的比值，即存在 m∈ℤ，n∈ℕ⁺ ，使得

m

──，

n

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