实数（一） (6-1)

这篇文章我想总结一下我自己在数学学习当中看到过的三种构造实数的方法，或者叫做模型。我认为这些模型是整个微积分的的精髓所在，正是因为有了实数的这种构造性的解读，极限微分积分等操作才有了立足之地。

一、利用有理数的分割构造实数

饭要一口一口的吃，要构造实数还得先构造出自然数，整数，以及有理数。我最喜欢集合论对自然数的解读，它利用空集从无到有创造出了有理数以及它的序型。

1.1、自然数的构造

首先我们定义归纳集的概念：

定义1.1.1：我们称S(X) 为 X 的后续集，如果 S(X)＝X∪{X}，简言之就是在 X 上添加一个集合 {X} ，它只有一个元素——集合 X 。（集合也可以作为元素哟~）

我们称一个集合为归纳集，如果这个集合包含了空集，而且这个集合的所有元素的后续集都包含在其中。这就是最基础的无穷集合了，事实上，公理化集合论（ZFC）的其中一条公理无穷公理就是：归纳集存在！也就是说集合论中允许无穷集合的存在。

现在来定义自然数。人们对于0的解读往往是“什么也没有”，“空无一物”这是很符合直觉且朴素的理解，在集合论里我们将“什么也没有”解释为空集∅ ，所以自然的，我们将0解释为 ∅ ，即 0：＝∅，那什么是1呢？集合论里为了体现自然数的“计数”功能，将1解读为空集的后续集，就是1 ：＝∅∪{∅}＝{∅}＝{0}，后面的你应该也猜到了，我们将 2，3，4，· · · 分别解读为 {0，1}，{0，1，2}，{0，1，2，3}，· · ·

题外话：说实话我感觉这里的归纳集和另一个概念“传递集合”的定义有一点类似，传递集合X 定义为：X 的元素也是 Ⅹ 的子集，也就是 x∈X ⇒ x ⊂ Ⅹ 。利用传递集合可以定义序数和基数，传递集合可以是有限的，也可以是无限的，比如可以验证在集合论的意义下，每一个自然数既是序数也是基数。序数和基数可以用来衡量集合的势，这当然是后话了。

从归纳集的定义中我们看出，任何归纳集都包含空集，以及其各个后续集，所以我们可以将自然数集 ℕ 定义为所有归纳集的交集！也就是最小的归纳集！

定义1.1.2：自然数集 ℕ 表示所有归纳集的交集，其中的元素叫做自然数。

对自然数取后续集的操作自然就是我们熟知的＋1 了。那自然数如何比较大小呢？这就是在讨论自然数的序关系。我们知道 2＜3 ，怎么描述它呢？在集合论里面，我们将元素与集合之间的属于关系“ ∈ ”解释为自然数的序关系“ ＜ ”。 2＜3 解释为 2∈3 ，只要 3 看成是集合 {0，1，2} 就好。

自然数集合其实还有很多其他性质，比如线性有序，还可以利用自然数的定义描述归纳原理。这些都不是本文的重点了。下面我们来构造整数集。

1.2、整数集的构造

利用自然数集，我们能够进而定义整数集合。你可能会问，为什么还要定义整数集呀？整数集不就是整数集吗？这其中的理由和我们用集合论定义自然数是一样的：我们要用集合论从无到有构造出整个数系！

我是说，现在我们只有自然数集的定义，你要怎么描述整数的＋和 － 呢？它们又在集合论里对应着什么呢？

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