实数（二） (5-5)

引理2（实数的Archimedes性质）.对于具有最小下界性的有序域中的 x，y＞o，总存在一个正整数（即这个域的整数子环中的正元素） n 使得 nx＞y 。

证明.如果引理不成立，那么 y 是集合 X＝{nx|n } 的一个上界。按确界原理，设 s＝sup Ⅹ。那么 s – x 不是 Ⅹ 的上界，从而存在一个 mx＞s – x 。但 (m＋e)x＞s ，这与 s＝sup X 矛盾。

引理3.对于具有最小下界性的有序域中的 x，与任意有理数 ϵ＞o ，存在一个有理数 r 使得 r＜x＜r＋ϵ 。

证明.注意到引理2建立了实数的Archimedes性质，所以引理3的证明和引理1是一样的。

接下来我们正式开始完成我们最后的工作。

命题7.设 𝕏 和 𝕐 是两个具有最小下界性的有序域，那么 𝕏 与 𝕐 同构。

证明. 设 𝕏 和 𝕐 分别有有理数子域 ℚ₁ 和 ℚ₂ 。设 f：ℚ₁ → ℚ₂ 是有理数域间的自然同构映射，我们将 f 的定义域扩充为 𝕏 。对于，我们取

f(x)＝sup{f(y)|y＜x，y∈ℚ₁}

现在我们来证明f：𝕏 → 𝕐 是一个同构映射。对于任意 x，y∈𝕏 ，取 ℚ₁ 中的 r＜x，s＜y，就有 r＋s＜x＋y ，从而

f(x＋y) ≥ f(x)＋f(y)＝sup{f(r)|r＜x}＋sup{f(s)|s＜y}

另外对t＜x＋y，由于引理3，可以取 ℚ₁ 中的 r，s 满足 r＜x，s＜y ，且

x＋y – t x＋y – t

r＋───＞x，s＋───＞y

e＋e e＋e

于是有t＜r＋s ，从而

f(x＋y)＝sup{f(t)|t＜x＋y} ≤ sup{f(r)|r＜x}＋sup{f(s)|s＜y}＝f(x)＋f(y)

因此f(x)＋f(y)＝f(x＋y)。同理可证 f(x)f(y)＝f(xy) 。当 x ≤ y 时，我们有

{f(r)|r＜x} ⊂ {f(s)|s＜y}

因此

f(x)＝sup{f(r)|r＜x} ≤ sup{f(s)|s＜y}＝f(y)。所以 f 是一个同构映射。

将命题7重新叙述一下，我们便得到了第二部分的定理

定理2.任意两个具有最小下界性的有序域同构。

定理2保证了实数域是唯一的，所以我们可以满意地将我们构造的ℝ* 记作 ℝ 了。

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