实数（二） (5-4)

是显然相等的，注意到(–α)(β＋γ)＝ – (α(β＋γ)即可证明 α＜0 情况，同样还有 β，γ＜0 的情况。对于 βγ＜0 ，考虑 β – γ 的绝对值即可。

最后我们知道r＜s 当且仅当 r＋t＜s＋t ，那么取 r∈α，s∈β，t∈γ ，就可以知道 α ≤ β ⇔ α＋γ ≤ β＋γ（细节和前面的命题是一样的），这就是(O1)。又由乘法的定义可以知道(O2)成立，那么我们得到了：

命题5.域 (ℝ*，＋，·) 满足有序域公理(O1)与(O2)。

综合命题1~5，我们便证明了我们希望得到的第一部分结果，即：

定理1.存在一个具有最小下界性的有序域。

lll.有理数子域与实数域的唯一性

在进入这一部分的讨论之前，我们需要说清楚“子域”和“唯一”到底是什么。这样我们便需要同构映射的概念，也就是

定义2.设 𝔽₁，𝔽₂ 是有序域，如果存在双射 f：𝔽₁ → 𝔽₂ 满足

f(x)＋f(y)＝f(x＋y)

f(x)f(y)＝f(xy)

f(x) ≤ f(y) ⇔ x ≤ y

那么f 就是 𝔽₁ 与 𝔽₂ 之间的同构映射，并称 𝔽₁ 与 𝔽₂ 同构。

这个定义是自然的，当两个域同构之后，我们便可以将它们视为是一样的了。

为了完成我们在I部分提出的目标，我们将在这里反其道而行之，从给定的具有最小下界性的有序域导出有理数的子结构，从而给出任意两个具有最小下界性的有序域之间的同构映射。

设ℝ₁ 是一个具有最小下界性的有序域，具有加法零元 o 和乘法单位元 e 。我们称 ℝ₁ 中的一个子集 A 叫做可归纳集，如果 A 满足 e∈A ，且如果 n∈A 就有 n＋e∈A 。我们取所有可归纳集交集为 ℕ₁ 。容易注意到上 ℕ₁ 成立数学归纳法，即

引理2.如果 ℕ₁ 的子集 S 满足 e∈S ，且 n∈S 时有 n＋e∈S ，那么 S＝ℕ₁ 。

证明.由假设知是 S 可归纳集，又因为 ℕ₁ 是所有可归纳集的交且 S ⊂ ℕ₁ ，便有 S＝ℕ₁ 。

由归纳法可以知道上ℕ₁ 加法与乘法封闭（即对于 m，n∈ℕ₁ 有 m＋n，mn∈ℕ₁ ）。定义 ℤ₁＝ℕ₁∪{–n|n∈ℕ₁}∪{o}，容易验证 ℤ₁ 是一个整环（即服从公理(A1)~(A4)，(M1)~(M3)和(D)）。定义

{p

ℚ＝ ─|p，q∈ℤ₁，q ≠ o}

{q

那么可以验证ℚ₁ 是一个域（即服从公理(A1)~(A4)，(M1)~(M4)和(D)），正如我们熟悉的有理数域一样。那么我们可以自然地构造出一个 ℚ₁ 到有理数域的同构映射，因此我们得到

命题6.有理数域是实数域的子域。

最后我们来完成关于实数域唯一性的证明。在开始证明之前，我们需要在实数上推广引理1，即引理2~3：

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