连续函数的有界定理与最值定理 (7-5)

值域f([α，b]) 非空

由于f 在 [α，b] 上有界，由Cantor确界存在定理（又称确界原理）

f 的的值域 f[α，b] 有上确界和下确界

分别记作M＝sup f([α，b])，m＝inf f([α，b])

接下来只考虑上确界

假设对一切x∈[α，b]都有 f(x)＜M

构造函数

1

φ(x)＝───

M – f(x)

由于f(x) 是连续的，且 f(x)＜M

所以φ(x) 也是连续的

φ(x) 是闭区间 [α，b] 上的连续函数，根据有界性定理

存在有限常数μ，使得

1

0＜φ(x)＝───＜μ

M – f(x)

对一切x∈[α，b] 成立

即

1

f(x)＜M – ─

μ

对一切x∈[α，b] 成立

1

即M – ─ 是值域 f([α，b]) 的一个确界

μ

这与M 是值域 f([α，b]) 的上确界矛盾

从而必然存在xₘαₓ ∈[α，b]

使得f(xₘαₓ)＝M

1

同理可以构造函数ф(x)＝────

m – f(x)

证明必然存在xₘᵢₙ ∈[α，b]

使得f(xₘᵢₙ)＝m

命题得证

（二）使用Bolzano-Weierstrass定理

值域f([α，b]) 非空

由于f 在 [α，b] 上有界，由确界原理， f 的值域 f([α，b]) 有上确界和下确界

分别记作M＝sup f ([α，b])，m＝inf f([α，b])

接下来只考虑上确界

令n∈ℕ*

1

显然M – ─＜M

n

由于M 是 f([α，b]) 的最小上界

所以存在y∈f([α，b])，使得

1

M – ─＜y＜M

n

也即存在x∈[α，b] ，使得

1

M – ─＜f(x) ≤ M

n

那么可以找到一个序列{xₙ} ⊂ [α，b]（ n∈ℕ*）

1

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