连续函数的有界定理与最值定理 (7-4)

α₂＋b₂

[───，b₂]

2

上函数f都无界

则任取其中一个闭区间记为[α₃，b₃]

这样不断重复下去

可得到一列闭区间套[𝐼ₙ] ， 𝐼ₙ＝ [αₙ，bₙ]，n∈ℕ*

显然满足

𝐼₁⊃𝐼₂⊃𝐼₃⊃ · · · ⊃ 𝐼ₙ₋₁ ⊃𝐼ₙ ⊃ 𝐼ₙ₊₁ ⊃ · · ·

并且

|𝐼ₙ|

|𝐼ₙ₊₁|＝──

2

bₙ – αₙ

bₙ₊₁ – αₙ₊₁＝───

2

b₁ – α₁ b – α

|𝐼ₙ|＝bₙ – αₙ＝───＝───

2ⁿ⁻¹ 2ⁿ⁻¹

（n∈ℕ*）

显然闭区间套{𝐼ₙ} 满足：

在每个闭区间𝐼ₙ＝[αₙ，bₙ]（ n∈ℕ* ）上，函数 f 都无界

lim|𝐼ₙ|＝0

n→∞

根据Cauchy-Cantor闭区间套定理，存在唯一的实数 ξ∈∩∞ 𝐼ₙ

n＝1

即lim (bₙ – αₙ)＝0，

n→∞

lim αₙ＝lim bₙ＝ξ

n→∞ n→∞

αₙ ≤ ξ ≤ bₙ

在这一点ξ 的任意邻域，函数 f 都无界

而ξ∈[α，b]

函数f 在 [α，b] 上连续，则对 ξ∈[α，b] ，函数 f 应在其某个邻域内满足局部有界性

这样导出矛盾

所以f 是有界函数

命题得证

最值

设f：X → ℝ 是定义在实数域 ℝ 的子集 X上的函数，并设 x₀∈X.

如果对于一切x∈X ，都有 f(x₀) ≥ f(x)（ f(x₀) ≤ f(x)），

则称函数f 在 x₀ 处达到最大值（最小值），

点x₀ 称为函数的最大值点（最小值点）.

最大值和最小值统称最值，最大值点和最小值点统称最值点.

最值定理（Weierstrass第二定理）

设实数α＜b ，并设 f：[α，b] → ℝ 是在闭区间 [α，b] 上连续的函数.

那么f 在某点 xₘαₓ ∈[α，b]处达到最大值，在某点 xₘᵢₙ ∈[α，b] 处达到最小值.

同样，从实数系的每个基本定理（及与之等价的命题）都可以证明最值定理，这里选取几种证明方法

证明：

（一）使用Cantor确界存在定理

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