数学联邦政治世界观
超小超大

连续函数的有界定理与最值定理 (7-4)

α₂+b₂

[───,b₂]

2

上函数f都无界

则任取其中一个闭区间记为[α₃,b₃]

这样不断重复下去

可得到一列闭区间套[𝐼ₙ] , 𝐼ₙ= [αₙ,bₙ],n∈ℕ*

显然满足

𝐼₁⊃𝐼₂⊃𝐼₃⊃ · · · ⊃ 𝐼ₙ₋₁ ⊃𝐼ₙ ⊃ 𝐼ₙ₊₁ ⊃ · · ·

并且

|𝐼ₙ|

|𝐼ₙ₊₁|=──

2

bₙ – αₙ

bₙ₊₁ – αₙ₊₁=───

2

b₁ – α₁ b – α

|𝐼ₙ|=bₙ – αₙ=───=───

2ⁿ⁻¹ 2ⁿ⁻¹

(n∈ℕ*)

显然闭区间套{𝐼ₙ} 满足:

在每个闭区间𝐼ₙ=[αₙ,bₙ]( n∈ℕ* )上,函数 f 都无界

lim|𝐼ₙ|=0

n→∞

根据Cauchy-Cantor闭区间套定理,存在唯一的实数 ξ∈∩∞ 𝐼ₙ

n=1

即lim (bₙ – αₙ)=0,

n→∞

lim αₙ=lim bₙ=ξ

n→∞ n→∞

αₙ ≤ ξ ≤ bₙ

在这一点ξ 的任意邻域,函数 f 都无界

而ξ∈[α,b]

函数f 在 [α,b] 上连续,则对 ξ∈[α,b] ,函数 f 应在其某个邻域内满足局部有界性

这样导出矛盾

所以f 是有界函数

命题得证

最值

设f:X → ℝ 是定义在实数域 ℝ 的子集 X上的函数,并设 x₀∈X.

如果对于一切x∈X ,都有 f(x₀) ≥ f(x)( f(x₀) ≤ f(x)),

则称函数f 在 x₀ 处达到最大值(最小值),

点x₀ 称为函数的最大值点(最小值点).

最大值和最小值统称最值,最大值点和最小值点统称最值点.

最值定理(Weierstrass第二定理)

设实数α<b ,并设 f:[α,b] → ℝ 是在闭区间 [α,b] 上连续的函数.

那么f 在某点 xₘαₓ ∈[α,b]处达到最大值,在某点 xₘᵢₙ ∈[α,b] 处达到最小值.

同样,从实数系的每个基本定理(及与之等价的命题)都可以证明最值定理,这里选取几种证明方法

证明:

(一)使用Cantor确界存在定理

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