连续函数的有界定理与最值定理 (7-6)

使得M – ─＜f(xₙ) ≤ M

n

根据Bolzano-Weierstrass定理

这个序列{xₙ} （ n∈ℕ*）一定含有收敛子列 {xₙₖ}（ k∈ℕ*）

设lim xₙₖ＝xₘαₓ

K→∞

由于{xₙₖ} ⊂ [α，b] ，则它的极限 xₘαₓ ∈ [α，b]

1

M – ─＜f(xₙₖ) ≤ M

nₖ

又f 是闭区间 [α，b] 上的连续函数

由Heine归结原则

有lim f(xₙₖ)＝lim f(x)＝f(xₘαₓ)

k→∞ x→xₘαₓ

1

将M – ─＜f(xₙₖ) ≤ M 取极限，由夹逼定理 ↑

nₖ

可得

f(xₘαₓ)＝M

同理可证明必然存在xₘᵢₙ ∈[α，b]

使得f(xₘᵢₙ)＝m

命题得证

（三）使用Heine-Borel-Lebesgue有限覆盖定理

值域f([α，b]) 非空

由于f 在 [α，b] 上有界，由确界原理， f 的值域 f([α，b]) 有上确界和下确界

分别记作M＝sup f ([α，b])，m＝inf f([α，b])

接下来只考虑上确界

假如对任意一点x₀∈(α，b)，成立 f(x₀)＜M

1

取δ(x₀)＝─(M – f(x₀))，显然 δ(x₀)＞0

2

则存在点x₀ 的邻域 ∪(x₀)

对任意x' ∈∪(x₀)，f(x')＜M – δ(x₀)

对于α，b 两点，也存在邻域∪ (α)，∪(b)

对任意x' ∈∪(α)∩[α，b]，f(x')＜M – δ(α)

对任意x' ∈∪(b)∩[α，b]，f(x')＜M – δ(b)

这样，对一切点x∈[α，b]所构造的所有这样的邻域 ∪(x)，它们的全体组成了闭区间 [α，b] 的一个开覆盖

由Heine-Borel-Lebesgue定理

这个开覆盖中一定能选出有限个开集作为[α，b] 的一个有限子覆盖，即

有限个开集∪(x₁)，∪(x₂)，· · ·，∪(xₙ) 覆盖了 [α，b]

对任意x∈∪(xᵢ)∩[α，b] 上

f(x)＜M – δ(xᵢ)，其中 δ(xᵢ)＞0

(i＝1，2，· · ·，n)

取δ＝min {δ₁，δ₂，· · ·，δₙ}＞0

则对一切x∈[α，b]

f(x)＜M – δ

这与M 是 f 的值域的上确界矛盾

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