连续函数的有界定理与最值定理 (7-3)

区间族{(x – δₓ，x＋δₓ)}ₓ∈[α，b] 构成了闭区间 [α，b] 的一个开覆盖

由Heine-Borel-Lebesgue定理

这个开覆盖中一定能选出有限个开集作为[α，b] 的一个有限子覆盖，即

{(xᵢ – δₓᵢ，xᵢ＋δₓᵢ)，i＝1，2，· · ·，k)

令ᴹ⁼ᵐᵃˣ ₁≤ᵢ≤ₖ {|f(xᵢ)|＋ε₀}

对任意的x∈[α，b] ，当

x∈(xⱼ – δₓⱼ，xⱼ＋δₓⱼ)，j＝1，2，· · ·，k时

|f(x)| ≤ |f(x) – f(xⱼ)|＋|f(xⱼ)|＜|f(xⱼ)|＋ε₀ ≤ M

可得f 在[α，b]上有界

命题得证

（四）使用Cauchy-Cantor闭区间套定理

设函数f 在闭区间 [α，b] 上无界

则令α₁＝α，b₁＝b

α₁＋b₁

闭区间[α₁，b₁]被中点───一分为二

2

α₁＋b₁ α₁＋b₁

两段闭区间[α₁，─── 和 ───， b₁]

2 2

至少有一个，函数 f 在其上无界

将函数f 在其上无界的那段闭区间记为

[α₂，b₂]

α₁＋b₁

如果在两段闭区间[α₁，─── 和

α₁＋b₁ 2

───，b₁]

2

上函数f都无界

则任取其中一个闭区间记为[α₂，b₂]

重复这一过程

α₂＋b₂

闭区间[α₂，b₂]被中点───一分为二

2

α₂＋b₂ α₂＋b₂

两段闭区间[α₂，─── 和 ───，b₂]

2 2

至少有一个，函数 f 在其上无界

将函数f 在其上无界的那段闭区间记为 [α₃，b₃]

α₂＋b₂

如果在两段闭区间[α₂，───] 和

2

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