连续函数的有界定理与最值定理 (7-2)

根据Bolzano-Weierstrass定理（又称凝聚定理、列紧性定理或致密性定理）

这个序列{xₙ} （n∈ℕ* ）一定含有收敛子列 {xₙₖ} （ k∈ℕ*）

设 lim xₙₖ＝x₀

k→∞

由于 {xₙₖ} ⊂ [α，b] ，则它的极限 x₀ ∈ [α，b]

又f 是闭区间 [α，b] 上的连续函数

由Heine归结原则

有 lim f (xₙₖ)＝lim f(x)＝f(x₀)

k→∞ x→x₀

|f(x₀)|＜＋∞

lim |f (xₙₖ) |＜＋∞

k→∞

而按照之前的假设

|f (xₙₖ)| ≥ nₖ ≥ k

这样可得

lim |f (xₙₖ) |＝＋∞

k→∞

这与之前的假设是矛盾的

所以 f 是有界函数

命题得证

（二）使用Heine-Borel-Lebesgue有限覆盖定理（一）

f 是 [α，b] 上的连续函数，由连续函数的局部有界性

f 在任意点 x₀ ∈ [α，b] 连续，则它在此点的某个邻域 ∪ᴇ(x₀) 上有界

对于任意一点 x ∈[α，b] ，都存在这样的邻域 ∪(x)

在集合∪₀(x)＝[α，b]∩∪(x)上，存在正数 Mₓ ，使得 |f(x)| ≤ Mₓ

这样，对一切点 x ∈[α，b] 所构造的所有这样的邻域 ∪(x)，它们的全体组成了闭区间 [α，b] 的一个开覆盖

由Heine-Borel-Lebesgue定理（又称有限覆盖定理）

这个开覆盖中一定能选出有限个开集作为[α，b] 的一个有限子覆盖

这有限个开集∪(x₁)，∪(x₂)，· · ·，∪(xₖ) 覆盖了 [α，b]

并且存在正数M₁，M₂，· · ·，Mₖ，

使得对一切x ∈∪₀(xᵢ)＝[α，b]∩∪(xᵢ)（ i＝1，2，· · ·，k）

有|f(x)| ≤ Mᵢ（ i＝1，2，· · ·，k ）

令M＝max {M₁，M₂，· · ·，Mₖ}

对一切 x∈[α，b] ， x 必属于某个 ∪₀(xᵢ)

则|f(x)| ≤ Mᵢ ≤ M

可得f 在 [α，b] 上有界

命题得证

（三）使用Heine-Borel-Lebesgue有限覆盖定理（二）

任取x∈[α，b]

f 是 [α，b]上的连续函数，它在点 x₀ 处连续

则对任意给定的ε₀＞0，以及任意的 x₀∈[α，b]

存在δₓ₀＞0

使得对任意x' ∈(x₀ – δₓ₀，x₀＋δₓ₀)∩[α，b]

|f(x') – f(x₀)|＜ε₀

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