哥德尔不完备定理（解释二） (3-2)

5. 而第二个条件中，是一个叫做Q的关于m和n —— 按照我们的约定，m和n两个小写字母表示的是两个哥德尔数 —— 的陈述。这种陈述是什么含义呢？我们这样来定义它：把m翻译成逻辑表达，它是一个关于某个哥德尔数x的陈述，比如说M(x)。这时候我们把m这个哥德尔数代入x，得到M(m)，这个M(m)的哥德尔数就是n。简言之，Q的含义就是，把哥德尔数m代入m表达的逻辑命题M中得到的是一个由哥德尔数n所代表的逻辑命题。

好了，现在，我们有了一些关于符号逻辑和形式语言的基本知识，我们就可以进一步来构造那个“说谎者悖论”了。

现在，我们来看最初的那个逻辑命题P：

P≡(∃n) (~T(n))＆(Q(m，n))

它自己也有一个哥德尔数 —— 按照哥德尔的规则，每一个逻辑命题都可以编码成唯一一个哥德尔数。我们这里不会去用具体的规则去构造这个数字，它将会是一个无比巨大的自然数。我们现在只是假设说，这个哥德尔数为p。我们现在把p代入到上述命题中的m中去，于是我们就得到了：

P'≡(∃n) (~T(n))＆(Q(p，n))

那么，这个P’是真的还是假的呢？

首先，我们假设这个命题是真的。那么，它说的无非就是，存在这这么一个n，它同时满足两个条件：

1. “n所代表的逻辑命题是真的”这件事不成立，并且

2. 由于Q的操作中得到的是一个n代表的逻辑命题，所以，“n代表的逻辑命题是真的”成立。

所以我们得到了一个矛盾。于是这个命题不可能是真的。

现在，我们假设它是假的。那么，这意味着，对于任何一个n，两个条件件(~T(n))、以及 (Q(p，n))都至少有一个假的。也就是说，如下两个条件至少有一个是假的：

1、 n所代表的命题是假的，

2、 将p代入到它所代表的的命题P —— 也就是我们的原命题，我们得到一个由n代表的逻辑命题。

既然任何一个n都有上面的性质，那么，现在我们可以来看一看其中一个例子：就是n满足第二个条件的情况。也就是说，把p代入P，得到一个n所代表的命题。这个命题显然是存在的，那么它是什么呢？它就是我们的原命题P’啊 —— 因为这个命题就是吧p代入到P中得到的。

我们接着来推理，对于这个n来说，既然满足了第二个条件，而两个条件至少要有一个不满足，所以第一个条件就一定是假的。也就是说，“n所代表的命题是假的”这个命题是假的，也就是说，n所代表的命题一定是真的。而n所代表的命题是什么呢？他就是P’啊。所以说，P’一定是真的。

然而，这里我们假设的是P'是假的，所以我们就又产生了一个矛盾。

所以这个命题不可能是假的。

于是，我们就产生了说谎者悖论的情况。而这里的整个过程中，我们并没有在任何地方使用过自我引用。

其实，这里我发现一个非常非常巧妙的、不严谨但是直观的例子，是Hofstadter在“I am a strange loop"[3]这本书中构造的一句自然语言，用一种非自指的方式实现自我判定。这里我给它做一个小小的改造，简直就是一个天才的帮助理解的实例。

“接上引号中的词语后构成的句子是假的” 接上引号中的词语后构成的句子是假的。

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