哥德尔不完备定理（解释二） (3-1)

在1931年，哥德尔给冯诺依曼写的一封信中[1]曾经提到过这个问题。他解释了他的不完备定理中为什么构造一个“不可证”的命题而不是一个“为假”的命题。因为他发现，在一个形式系统中，“真假”这样的概念大概是没有办法严格描述的，然而“可证”则是一个形式系统中有严格定义的东西。

当然，他当时不知道的是，两年后，塔斯基发表了一个证明，证明了一个形式系统内部无法定义“真”。这个定理叫做“塔斯基不可定义定理”。如果在当时他已经有了证明，很遗憾，这位天才失去了这个定理的优先权。

对哥德尔本人而言 —— 他是一个死硬的数学柏拉图主义者 —— 他认为这个定理说明了一个简单事实：在数学中，“真”和“可证”是两码事，而不是像当时大行其道的形式主义所认为的，真=可证。哥德尔认为的数学真是因为它本来就是真的，是一个客观的、抽象的现实，而不是因为我们可以构建一个形式体系，在这个体系中可以把它证明出来。他有一句非常有名的话是这样说的[2]：

“要么，数学对我们来说高不可攀，要么，我们的大脑不仅仅是一台机器。”

也就是说，如果我们按照“形式框架中可以证明”这种“机器”模式来搞数学，那么必定会有深刻的数学真理不可能被我们理解。

说一点不可定义定理吧（我不是专家，有错误请大家批评）。这个定理的基本思路就是，如果我们允许一个形式系统内部存在“真”的定义，那么我们就可以构造出类似“说谎者悖论”这种东西。

比如说，一个形式逻辑的命题P，是这样的：

P≡(∃n) (~T(n))＆(Q(m，n))

对不熟悉这种符号的人，我这里有必要把其中的符号做一个简单的解释：

1. ∃，是一个反过来写的大写E，是英语“存在（Exist）”的首字母，它的含义是，“存在一个……使得……”。 (∃n) 的意思就是，存在一个n，使得后续的一串关于n的逻辑陈述是成立的。也就是说，这个命题断言，至少会存在一个n，它满足后续的逻辑条件。

2. &，是一个常见的逻辑运算，表示“并且”。也就是说，上述的n同时满足两个条件 (~T(n))、以及 (Q(m，n)) 。

3. 这里的n是一个哥德尔数。也就是说，它是某一个逻辑命题按照哥德尔的规则“编码”而成的一个自然数。它本身是一个数字，但是，如果我们按照哥德尔规则把它翻译成一种逻辑陈述，它就可以表达为一种逻辑命题。为了方便陈述，我这里约定一个规则，在本小节的逻辑陈述中，所有的小写字母，表示的都是一个哥德尔数，而大写字母，则是一个逻辑陈述。我们可以这样理解：哥德尔数是一种语言，它是以0到9十个数字为“字母表”、按照哥德尔规则为语法的一串符号。而我们根据哥德尔规则，可以把它翻译成用逻辑符号表达的逻辑陈述，这种逻辑陈述，就是哥德尔数的元语言。

4. 这里，关于n的两个条件的第一个， (~T(n))，其中的“~”在逻辑语言中表示的是“否定”。而这里的T(n)是一种关于n的逻辑陈述。这里我们定义T是这样的：“把n翻译成逻辑命题后的表达是真的”。而前面加上一个否定运算，就是“n的逻辑表达是真的”这件事是假的，也即是说，n所代表的逻辑命题不是真的。

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