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哥德尔不完备定理(解释二) (3-1)

在1931年,哥德尔给冯诺依曼写的一封信中[1]曾经提到过这个问题。他解释了他的不完备定理中为什么构造一个“不可证”的命题而不是一个“为假”的命题。因为他发现,在一个形式系统中,“真假”这样的概念大概是没有办法严格描述的,然而“可证”则是一个形式系统中有严格定义的东西。

当然,他当时不知道的是,两年后,塔斯基发表了一个证明,证明了一个形式系统内部无法定义“真”。这个定理叫做“塔斯基不可定义定理”。如果在当时他已经有了证明,很遗憾,这位天才失去了这个定理的优先权。

对哥德尔本人而言 —— 他是一个死硬的数学柏拉图主义者 —— 他认为这个定理说明了一个简单事实:在数学中,“真”和“可证”是两码事,而不是像当时大行其道的形式主义所认为的,真=可证。哥德尔认为的数学真是因为它本来就是真的,是一个客观的、抽象的现实,而不是因为我们可以构建一个形式体系,在这个体系中可以把它证明出来。他有一句非常有名的话是这样说的[2]:

“要么,数学对我们来说高不可攀,要么,我们的大脑不仅仅是一台机器。”

也就是说,如果我们按照“形式框架中可以证明”这种“机器”模式来搞数学,那么必定会有深刻的数学真理不可能被我们理解。

说一点不可定义定理吧(我不是专家,有错误请大家批评)。这个定理的基本思路就是,如果我们允许一个形式系统内部存在“真”的定义,那么我们就可以构造出类似“说谎者悖论”这种东西。

比如说,一个形式逻辑的命题P,是这样的:

P≡(∃n) (~T(n))&(Q(m,n))

对不熟悉这种符号的人,我这里有必要把其中的符号做一个简单的解释:

1. ∃,是一个反过来写的大写E,是英语“存在(Exist)”的首字母,它的含义是,“存在一个……使得……”。 (∃n) 的意思就是,存在一个n,使得后续的一串关于n的逻辑陈述是成立的。也就是说,这个命题断言,至少会存在一个n,它满足后续的逻辑条件。

2. &,是一个常见的逻辑运算,表示“并且”。也就是说,上述的n同时满足两个条件 (~T(n))、以及 (Q(m,n)) 。

3. 这里的n是一个哥德尔数。也就是说,它是某一个逻辑命题按照哥德尔的规则“编码”而成的一个自然数。它本身是一个数字,但是,如果我们按照哥德尔规则把它翻译成一种逻辑陈述,它就可以表达为一种逻辑命题。为了方便陈述,我这里约定一个规则,在本小节的逻辑陈述中,所有的小写字母,表示的都是一个哥德尔数,而大写字母,则是一个逻辑陈述。我们可以这样理解:哥德尔数是一种语言,它是以0到9十个数字为“字母表”、按照哥德尔规则为语法的一串符号。而我们根据哥德尔规则,可以把它翻译成用逻辑符号表达的逻辑陈述,这种逻辑陈述,就是哥德尔数的元语言。

4. 这里,关于n的两个条件的第一个, (~T(n)),其中的“~”在逻辑语言中表示的是“否定”。而这里的T(n)是一种关于n的逻辑陈述。这里我们定义T是这样的:“把n翻译成逻辑命题后的表达是真的”。而前面加上一个否定运算,就是“n的逻辑表达是真的”这件事是假的,也即是说,n所代表的逻辑命题不是真的。

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