如何证明集合论基数的Zermelo-Konig定理？ (2-2)

‗ ‗ ‗ ‗

从而等式A=B不成立，因此只剩下A＜B。

现考察属于 Pᵢ 的一切元复合

pᵢ=〈bᵢ₁， bᵢ₂， bᵢ₃，· · ·，bᵢᵢ， · · ·〉，

而特别是其中的元 bᵢᵢ： 这些 bᵢᵢ 组成了一个在Bᵢ 中的、

‗ ‗

其势≤ Aᵢ的集Dᵢ (因既然只有Aᵢ个pᵢ，而属于不

同pᵢ的bᵢᵢ又不必不相同，

‗

故至多只有Aᵢ个bᵢᵢ)。因此有 Dᵢ⊂Bᵢ 或

Bᵢ=Dᵢ∪Eᵢ，Eᵢ⊃∅。

对于每一 i∈l，我们从Eᵢ中任取一元eᵢ，则元复合

p=〈e₁，e₂，e₃，· · ·，eᵢ，· · ·〉

与所有的pᵢ都不同 (eᵢ≠bᵢᵢ)，而且对于每一 i 都这样，故p不属于P，因而P=B 为不可能。这就证明了葛尼格的定理。

特殊地，如果定理中0＜α₁＜α₂＜α₃＜· · · 是一列递增的基数，则有

α₁＋α₂＋α₃＋· · ·＜α₂α₃α₄· · ·，

或，当我们令

α=α₁＋α₂＋α₃＋· · ·，β=α₁α₂α₃· · ·时：

α=α₁＋α₂＋α₃＋· · ·＜1 • α₂α₃· · ·≤α₁α₂α₃· · · =β≤ααα· · ·=αℵ⁰，α＜β≤αℵ⁰。

可见存在着满足α＜αℵ⁰的势α，而且有无限多个，因为我们可用一任意大的α₁；开始。但也存在着同样是无限多的、满足c＜cℵ⁰的基数c，这就是具有形式gℵ⁰的基数，因

(gℵ⁰)ℵ⁰=gℵ⁰ℵ⁰=gℵ⁰。

其次，在葛尼格定理中，取 l=N，αᵢ=1，βᵢ=2。于是得到

∑ 1＜∏ 2。

i∈N i∈N

即

1＋1＋1＋· · ·＜2·2·2· · · ·，

根据基数运算的性质，上式就是

‗ ═══

ℵ₀=N＜𝒫 (N)=2ℵ⁰，

此即康托不等式。因此，康托定理是葛尼格定理的特殊情形。

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。