如何证明集合论基数的Zermelo-Konig定理？ (2-1)

而不能推出严格的不等式

∑αᵢ＜∑βᵢ 和Παᵢ＜∏βᵢ。

iel iel iel iel

例如，取l＝(1，2，3，· · ·)，令αᵢ＝i–1，βᵢ＝i，则有都有αᵢ＜βᵢ (i∈l)。但是根据基数加法与乘法的定义容易得出

0＋1＋2＋3＋· · ·＝R₀，1＋2＋3＋· · ·＝R₀，

即 ∑ αᵢ＝∑ βᵢ。

i∈l i∈l

然而对于基数的和及积之间，有着一个严格的不等式。它是葛尼格 (Julius Konig，1849—1913）1905年给出的。

葛尼格定理 设(αᵢ，i∈l)，(βᵢ丨i∈l)是两个基数集合，其中1为指标集合。如果对于任意的i∈l，都有αᵢ＜βᵢ，则下列不等式成立：

∑ αᵢ＝∑ βᵢ。

i∈l i∈l

证明 选取两个集合族(Aᵢ丨i∈l)和(Bᵢ丨i∈l)，使诸 Aᵢ 是互不相交的各具有势 αᵢ 的集，诸 Bᵢ是各具有势βᵢ的集。

在承认选择公理的情况下，可以假设 l 为良序集③。为简单计，我们用1，2，3，· · · 记 l 的若干元。因诸 Bᵢ 可用与其对等的集来代替而不影响Πβᵢ

i∈l

的大小，故由αᵢ＜βᵢ，可假定 Aᵢ 是 Bᵢ 的真子集，令Cᵢ＝Bᵢ–Aᵢ，

则有 Bᵢ＝Aᵢ∪Cᵢ，而Cᵢ⊃∅。

今由

A＝∑Aᵢ＝A₁∪A₂∪A₃∪· · ·∪ Aᵢ ∪ · · ·

i∈l

，B＝∏Bᵢ＝(B₁，B₂，B₃，· · ·，Bᵢ，· · ·)

‗ ‗

而来证明A＜B，其中B是元复合p=〈b₁， b₂， b₃，· · ·，bᵢ，· · ·〉(bᵢ∈Bᵢ)的集。

‗ ‗

首先有A＜B，事实上，若以cᵢ表示 C=Bᵢ–Aᵢ 中的一个固定元，则下列元复合的每一个

〈a₁，c₂，c₃，· · ·， cᵢ，· · ·〉(a₁∈A₁)

〈c₁，a₂，c₃，· · ·，cᵢ，· · ·〉(a₂∈A₂)

· · · · · · · · ·

〈c₁，c₂，c₃，· · ·，aᵢ，· · ·〉(aᵢ∈Aᵢ)

· · · · · · · · ·

(注意它们只有一个aᵢ，其余都是固定元 c !）当其中 aᵢ “走遍”所属的集 Aᵢ 时，分别构成 B 的一个子集；这些子集互不相交，且各与A₁，A₂，· · ·，Aᵢ，· · ·对等：由此可见，A与B的一子集对等。

另一方面，设

P＝∑ Pᵢ=P₁∪P₂∪P₃∪· · ·∪Pᵢ∪· · ·

i∈l

＿＿＿＿＿＿

是 B 的一个与 A 对等的子集 (其中Pᵢ~Aᵢ) ；我们证明，它不能与整个 B 全同，

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