特殊篇章（数学定理）一 (8-7)

(22) dω²₁

K＝−─────.

ω¹∧ω²

遗憾的是，上式只对正交标架成立, 因此从(22)本身我们尚无法确定这样定义的量是否几何量. 所以，我们采用另一种与标架选取无关的做法.

设 U 是曲面 S 的一个坐标邻域, {e₁，e₂} 是坐标邻域 U 上的任意切标架场并且 dr＝ωαeα. 那么黎曼度量可以表示为

ds²＝gαᵦωαωβ，

其中 gαβ＝⟨eα，eᵦ⟩ . 假设联络 D 在该标架下可以表示为

(23) Deα＝ωβαeᵦ.

由于 D 是相容联络，因此

(24) dgαᵦ＝ωγαgᵧᵦ＋ωγβgᵧα.

注意, 当 {e₁，e₂} 是正交标架时，(24)等价于 ωβα＋ωαᵦ＝0，即联络系数 ωβα 关于指标是反对称的. 这时, 非零的联络系数只有 ω²₁＝−ω¹₂. 根据(23)，此时联络 D 由 ω²₁ 完全确定， 这是(22)成立的一个基础. 因此，对一般的标架(22)是不一定成立的. (24)可以用矩阵表示为

(25) dG＝ωG＋Gωᵀ，

其中 G＝(gᵢⱼ) 称为度量矩阵，ω＝(ωᵢⱼ) 称为联络 D 在标架 {e₁，e₂} 下的联络矩阵. 对(25)求外微分得到并利用 d²＝0 得到

0＝d(dG)＝dωG−ω∧dG＋dG∧ωᵀ＋Gdωᵀ＝dωG−ω∧(ωG＋Gωᵀ)＋(ωG＋Gωᵀ)∧ωᵀ＋Gdωᵀ＝(dω−ω∧ω)G＋G(dω−ω∧ω)ᵀ.

定义联络 D 的曲率矩阵为 Ω＝dω−ω∧ω，那么上式简化为

(26) ΩG＋GΩᵀ＝0.

若令 Ωαᵦ＝Ωγαgᵧᵦ，那么(26)的意义就是 (Ωαᵦ) 是一个反对称矩阵. 为了了解 Ω 称为曲率矩阵的合理性, 我们观察 Ω 的分量

Ωαᵦ＝dωβα−ωγα∧ωβᵧ

以及结构方程(2)在任意标架下的一般形式

dωʲᵢ−ωᵏᵢ∧ωʲₖ＝0

并发现, 对于欧式空间 ℝ³ 的参数曲面 S，曲率矩阵的分量

Ωβα＝ω³α∧ωβ₃.

特别地, 将 Ω²₁＝ω³₁∧ω²₃ 与(6)对比就不难看出将 Ω 称作曲率矩阵的合理性. 只不过, 在正交标架的情况下, 曲面的弯曲性质由 Ω²₁＝dω²₁ 完全刻画；而对于任意标架，曲面的弯曲性质需要用整个曲率矩阵刻画.

现在, 我们来考察曲率矩阵在标架变换时的变换规律. 假设 {e~₁，e~₂} 是另一个切标架场, 满足关系

(27)(e~₁) (e₁)

(e~₂)＝A (e₂).

对(27)求协变导数得到

D(e~₁) (e~₁)

(e~₂)＝ω~ (e~₂)

＝ω~A(e₁) (e₁)

(e₂)＝dA (e₂)

＋Aω(e₁)

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。